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(2010•珠海二模)已知两圆Q1:(x+1)2+y2=54和Q2:(x-1)2+y2=454,动圆P与⊙O1外切,且与⊙O2内切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程;(Ⅱ)过点M(5,0)作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B
题目详情
(2010•珠海二模)已知两圆Q1:(x+1)2+y2=
和Q2:(x-1)2+y2=
,动圆P与⊙O1外切,且与⊙O2内切.
(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点M(5,0)作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B,试推断是否存在直线l,使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点M(5,0)作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B,试推断是否存在直线l,使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由已知,点O1(-1,0),O2(1,0),r1=
,r2=
,则
|O1O2|=2<r2-r1,所以⊙O1内含于⊙O2.
设圆P的半径为r,因为动圆P与⊙O1外切,且与⊙O2内切,则
|PO1|+|PO2|=(r1+r)+(r2+r)=r1+r2=2
.
所以动圆圆心P轨迹是以点O1O2为焦点的椭圆
因为a=
,c=1,所以b2=a2-c2=4.
故动圆圆心P的轨迹方程是
+
=1
(Ⅱ)因为直线x=5与椭圆无交点,可设直线l方程为y=k(x-5).
由
,得4x2+5k2(x-5)2=20,即(5k2+4)x2-50k2x+125k2-20=0
设点A(x1,y1,B(x2,y2),AB的中点为C(x0,y0),则
x0=
=
| ||
2 |
3
| ||
2 |
|O1O2|=2<r2-r1,所以⊙O1内含于⊙O2.
设圆P的半径为r,因为动圆P与⊙O1外切,且与⊙O2内切,则
|PO1|+|PO2|=(r1+r)+(r2+r)=r1+r2=2
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所以动圆圆心P轨迹是以点O1O2为焦点的椭圆
因为a=
5 |
故动圆圆心P的轨迹方程是
x2 |
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y2 |
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(Ⅱ)因为直线x=5与椭圆无交点,可设直线l方程为y=k(x-5).
由
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设点A(x1,y1,B(x2,y2),AB的中点为C(x0,y0),则
x0=
x1+x2 |
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作业帮用户
2017-10-18
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