已知圆O:x^2+y^2=4和圆C:x^2+(y-4)^2=1过圆C的圆心c作动直线m交圆O于A,B两点.试问：在以AB为直径的所有圆中,是否存在这样的圆P,使得圆P经过点M（2,0)?若存在,求出圆P的方程；若不存在,请说明理由.

Question

已知圆O:x^2+y^2=4和圆C:x^2+(y-4)^2=1
过圆C的圆心c作动直线m交圆O于A,B两点.试问：在以AB为直径的所有圆中,是否存在这样的圆P,使得圆P经过点M（2,0)?若存在,求出圆P的方程；若不存在,请说明理由.
求出斜率

Answer 1

已知圆O:x²+y²=4和圆C:x²+(y-4)²=1；过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A,B两点.试问：在以AB为直径的所有圆中,是否存在这样的圆P,使得圆P经过点M（2,0)?若存在,求出圆P的方程；若不存在,请说明理由,并求出AB的斜率.
这样的圆有两个：
(1).当过C(0,4)的直线m通过圆O的圆心O时,与圆O的交点AB就是圆O的直径,以AB为直径的圆就是圆O,当然过点M(2,0),因为M就在圆O上.
(2).连接CM,那么CM所在的直线m与圆O的交点为A、M,这个M就是题示的B,那么以AM为直径的圆当然过M.此时直线m的斜率k=-2,m的方程为y=-2(x-2)=-2x+4；代入圆O的方程得：
x²+(-2x+4)²=5x²-16x+16=4,即有5x²-16x+12=(5x-6)(x-2)=0,故得x₁=6/5,x₂=2；相应地,y₁=-12/5+4=8/5；y₂=0；即A(6/5,8/5)；B(2,0).
∣AB∣=√(2-6/5)²+(8/5)²]=√(80/25)=√(16/5)=4√(1/5)
AB的中点P的坐标：Xp=(6/5+2)/2=8/5；Yp=(8/5)/2=4/5,故圆P的方程为：(x-8/5)²+(y-4/5)²=4/5.