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如图1,直线l⊥AB于点B,点C在AB上,且AC:CB=2:1,点M是直线l上的动点,作点B关于直线CM的对称点B′,直线AB′与直线CM相交于点P,连接PB.(1)如图2,若点P与点M重合,则∠PAB=,线段PA
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如图1,直线l⊥AB于点B,点C在AB上,且AC:CB=2:1,点M是直线l上的动点,作点B关于直线CM的对称点B′,直线AB′与直线CM相交于点P,连接PB.
(1)如图2,若点P与点M重合,则∠PAB=___,线段PA与PB的比值为___
(2)如图3,若点P与点M不重合,设过P,B,C三点的圆与直线AP相交于D,连接CD,求证:①CD=CB′;②PA=2PB;
(3)如图4,若AC=2,BC=1,则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上,在以下小题中选做一题:
①如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径,那么不必写出发现过程,只要证明这个圆上的任意一点Q,都满足QA=2QB;
②如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径,那么请取出几个特殊位置的P点,如点P在直线AB上,点P与点M重合等进行探究,求这个圆的半径.
(1)如图2,若点P与点M重合,则∠PAB=___,线段PA与PB的比值为___
(2)如图3,若点P与点M不重合,设过P,B,C三点的圆与直线AP相交于D,连接CD,求证:①CD=CB′;②PA=2PB;
(3)如图4,若AC=2,BC=1,则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上,在以下小题中选做一题:
①如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径,那么不必写出发现过程,只要证明这个圆上的任意一点Q,都满足QA=2QB;
②如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径,那么请取出几个特殊位置的P点,如点P在直线AB上,点P与点M重合等进行探究,求这个圆的半径.
▼优质解答
答案和解析
(1) 如图2,
∵B关于直线CM的对称点为点B′,
∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C,
∴CB′=CB,∠PB′C=∠PBC=90°,
∵AC:CB=2:1,
∴AC=2CB′,
在Rt△AB′C中,sin∠A=
=
,
∴∠A=30°,
在Rt△PAB中,PA=2PB;
故答案为30°;2;
(2)证明:①∵B关于直线CM的对称点为点B′,
∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C,
∴∠PB′C=∠PBC,
∵∠CDB′=∠CBP,
∴∠CDB′=∠CB′D,
∴CD=CB′;
②作B′E∥PC交AC于E,连结BB′交PC于F,如图3,
∵B关于直线CM的对称点为点B′,
∴FB=FB′,PB=PB′,
而CF∥B′E,
∴BC=CE,
∵AC=2BC,
∴AE=EC,
而B′E∥PC,
∴AB′=PB′,
∴PA=2PB′=2PB;
(3)选①.
证明:作B′E∥QC交AC于E,连结BB′交QC于F,如图4,
∵B关于直线CM的对称点为点B′,
∴FB=FB′,QB=QB′,
而CF∥B′E,
∴BC=CE,
∵AC=2BC,
∴AE=EC,
而B′E∥QC,
∴AB′=QB′,
∴QA=2QB′=2QB.
∵B关于直线CM的对称点为点B′,
∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C,
∴CB′=CB,∠PB′C=∠PBC=90°,
∵AC:CB=2:1,
∴AC=2CB′,
在Rt△AB′C中,sin∠A=
CB′ |
AC |
1 |
2 |
∴∠A=30°,
在Rt△PAB中,PA=2PB;
故答案为30°;2;
(2)证明:①∵B关于直线CM的对称点为点B′,
∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C,
∴∠PB′C=∠PBC,
∵∠CDB′=∠CBP,
∴∠CDB′=∠CB′D,
∴CD=CB′;
②作B′E∥PC交AC于E,连结BB′交PC于F,如图3,
∵B关于直线CM的对称点为点B′,
∴FB=FB′,PB=PB′,
而CF∥B′E,
∴BC=CE,
∵AC=2BC,
∴AE=EC,
而B′E∥PC,
∴AB′=PB′,
∴PA=2PB′=2PB;
(3)选①.
证明:作B′E∥QC交AC于E,连结BB′交QC于F,如图4,
∵B关于直线CM的对称点为点B′,
∴FB=FB′,QB=QB′,
而CF∥B′E,
∴BC=CE,
∵AC=2BC,
∴AE=EC,
而B′E∥QC,
∴AB′=QB′,
∴QA=2QB′=2QB.
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