已知，△ABC中，AC=BC．∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是CA上一点，F是CB上一点，且AE=CF，连接EF．（1）试证明：△DEF是等腰直角三角形；（2）过点D作DG⊥EF于G，连接CG并延长交AB于点H．①试

Question

已知，△ABC中，AC=BC．∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是CA上一点，F是CB上一点，且AE=CF，连接EF．
（1）试证明：△DEF是等腰直角三角形；
（2）过点D作DG⊥EF于G，连接CG并延长交AB于点H．
①试证明：CG=GD；
②若AE=5，CH=13，求CE的长度．

Answer 1

（1）如图1，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，即∠A=∠DCF．
∵在△AED与△CFD中，

AD=CD

∠A=∠DCF

AE=CF

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）①如图2，∵△DEF是等腰直角三角形，DG⊥EF，
∴G为EF的中点，
∴Rt△DEF中，DG=(1)/(2)EF．
∵∠ECF=90°，G为EF的中点，
∴Rt△CEF中，GC=(1)/(2)EF．
∴CG=GD；

②由（1）可知，DG=CG，∠CDF=90°，
∴∠CDG=∠GCD，
又∵∠CDG+∠GDH=∠DCG+∠DHG=90°，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=(1)/(2)CH，
∵∠ECF=90°，G为EF中点，
∴CG=(1)/(2)EF，
∴EF=CH=13，
由（1）可知，△AED≌△CFD，
∴AE=CF=5，
∴Rt△CEF中，EC=√(EF2-CF2)=√(132-52)=12．