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已知点A(-4,4)、B(4,4),直线AM与BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2,点M的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的轨迹方程;(Ⅱ)Q为直线y=-1上的动点,过Q做曲线C的切
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已知点A(-4,4)、B(4,4),直线AM与BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2,点M的轨迹为曲线C.
(Ⅰ) 求曲线C 的轨迹方程;
(Ⅱ) Q为直线y=-1上的动点,过Q做曲线C的切线,切点分别为D、E,求△QDE的面积S的最小值.
(Ⅰ) 求曲线C 的轨迹方程;
(Ⅱ) Q为直线y=-1上的动点,过Q做曲线C的切线,切点分别为D、E,求△QDE的面积S的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(I)设M(x,y),由题意可得:
-
=-2,
化为x2=4y.
∴曲线C 的轨迹方程为x2=4y且(x≠±4).
(II)设Q(m,-1),切线方程为y+1=k(x-m),
联立
,化为x2-4kx+4(km+1)=0,
由于直线与抛物线相切可得△=0,即k2-km-1=0.
∴x2-4kx+4k2=0,解得x=2k.可得切点(2k,k2),
由k2-km-1=0.∴k1+k2=m,k1•k2=-1.
∴切线QD⊥QE.
∴△QDE为直角三角形,S=
|QD|•|QE|.
令切点(2k,k2)到Q的距离为d,
则d2=(2k-m)2+(k2+1)2=4(k2-km)+m2+(km+2)2=4(k2-km)+m2+k2m2+4km+4=(4+m2)(k2+1),
∴|QD|=
,
|QE|=
,
∴S=
(4+m2)
=
(4+m2)
≥4,
当m=0时,即Q(0,-1)时,△QDE的面积S取得最小值4.
y-4 |
x+4 |
y-4 |
x-4 |
化为x2=4y.
∴曲线C 的轨迹方程为x2=4y且(x≠±4).
(II)设Q(m,-1),切线方程为y+1=k(x-m),
联立
|
由于直线与抛物线相切可得△=0,即k2-km-1=0.
∴x2-4kx+4k2=0,解得x=2k.可得切点(2k,k2),
由k2-km-1=0.∴k1+k2=m,k1•k2=-1.
∴切线QD⊥QE.
∴△QDE为直角三角形,S=
1 |
2 |
令切点(2k,k2)到Q的距离为d,
则d2=(2k-m)2+(k2+1)2=4(k2-km)+m2+(km+2)2=4(k2-km)+m2+k2m2+4km+4=(4+m2)(k2+1),
∴|QD|=
(4+m2)(
|
|QE|=
(4+m2)(
|
∴S=
1 |
2 |
(k1+k2)2-2k1k2+2 |
1 |
2 |
4+m2 |
当m=0时,即Q(0,-1)时,△QDE的面积S取得最小值4.
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