已知点A（-4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=-1上的动点，过Q做曲线C的切

Question

已知点A（-4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2，点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ） 求曲线C 的轨迹方程；
（Ⅱ） Q为直线y=-1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．

Answer 1

（I）设M（x，y），由题意可得：(y-4)/(x+4)-(y-4)/(x-4)=-2，
化为x²=4y．
∴曲线C 的轨迹方程为x²=4y且（x≠±4）．
（II）设Q（m，-1），切线方程为y+1=k（x-m），
联立

y+1=k(x-m)

x2=4y

，化为x²-4kx+4（km+1）=0，
由于直线与抛物线相切可得△=0，即k²-km-1=0．
∴x²-4kx+4k²=0，解得x=2k．可得切点（2k，k²），
由k²-km-1=0．∴k₁+k₂=m，k₁•k₂=-1．
∴切线QD⊥QE．
∴△QDE为直角三角形，S=(1)/(2)|QD|•|QE|．
令切点（2k，k²）到Q的距离为d，
则d²=（2k-m）²+（k²+1）²=4（k²-km）+m²+（km+2）²=4（k²-km）+m²+k²m²+4km+4=（4+m²）（k²+1），
∴|QD|=√((4+m2)(k21+1))，
|QE|=√((4+m2)(k22+1))，
∴S=(1)/(2)（4+m²）√((k1+k2)2-2k1k2+2)=(1)/(2)(4+m2)√(4+m2)≥4，
当m=0时，即Q（0，-1）时，△QDE的面积S取得最小值4．