过圆外一点P（a,b）作圆x^2+y^2=r^2的两条切线,切点为A,B求直线AB的方程弱点P在直线2x+3y+10=0上,直线PA,PB分别于圆x^2+y^2=4相切与A,B两点,求四边形PAOB的面积S的最小值一直圆M：x^2+y^2-2mx+2ny+m^2-1=0与

Question

过圆外一点P（a,b）作圆x^2+y^2=r^2的两条切线,切点为A,B 求直线AB的方程
弱点P在直线2x+3y+10=0上,直线PA,PB分别于圆x^2+y^2=4相切与A,B两点,求四边形PAOB的面积S的最小值
一直圆M：x^2+y^2-2mx+2ny+m^2-1=0与圆N：x^2+y^2+2x+2y-2=0相交于A,B两点,切着两点平分圆N的圆周,求圆M的半径r的最小值

Answer 1

1.设A(x1,y1) B(x2,y2)
以A为切点的切线方程x1x+y1y=r^2
以B为切点的切线方程x2x+y2y=r^2
ax1+by1=r^2
ax2+by2=r^2
所以A B都在直线ax+by=r^2上
过AB的直线有且只有一条
所以ax+by=r^2为所求
2.x^2+y^2= 4 （1）
2x+3y+10=0 （2）
两式相减得 x-y=3代入（1）
得y=-1和y=-2
再求得x值,得两圆交点A(2,-1) B(1,-2),求得AB中点M(3/2,-3/2),AB斜率k=1,
所以OM斜率为-1,直线OM方程(y+3/2)=-(x-3/2) 化简得y=-x (3)
又圆心过直线3x+4y-1=0 (4)
(3)和（4）得x=-1,y=1,即O(-1,1)
求得半径平方=|AO|^2=|BO|^2=13,
所以圆方程为(x+1)^2+(y-1)^2=13
所以 四边形PAOB的面积S的最小值为8.
(先作O点到直线2x+3y+10=0的垂线交直线了E点,后用点到直线距离公式求出线段OE的长度,再用直角三角形定理求AE或BE,再求三角形AEO的面积,四边形的最小面积就是三角形AEO或三角形BEO面积的两倍.)
这种也可以,你自己算下.
圆N：x^2+y^2+2x+2y-2=0
(x+1)^2+(y+1)^2=4
圆心坐标为(-1,-1),半径为=2
圆M；x^2+y^2-2mx+2ny+m^2-1=0
(x-m)^2+(y+n)^2=n^2+1
圆心坐标为(m,-n),半径=√(n^2+1),半径只受n影响
两交点平分圆N圆周,说明A,B连线就是圆N直径,则圆M的半径也必须≥2,n^2≥3,n≥√3或者n≤-√3
则圆M的圆心区域在y≥√3和y≤-√3
从图形上看,当圆M的圆心放在x=-1的直线上时,同样的半径,AB最大,又因为圆M的半径与圆心纵坐标有关系,所以当圆M圆心坐标为(-1,n)时,半径为√(n^2+1)是最小的符合要求的圆.此是A坐标为(-3,-1),B坐标为(1,-1),则根据勾股定理得:
n^2+1=2^2+[n-(-1)]^2=4+n^2+2n+1
4+2n=0
n=-2
圆M半径=√5,为最小值