设函数f（x）=2x+1x（x＞0），数列{an}满足a1=1，an=f（1an−1）（x∈N*，且n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n-1anan+1，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值

Question

设函数f（x）=(2x+1)/(x)（x＞0），数列{a_n}满足a₁=1，a_n=f（(1)/(an−1)）（x∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a₁为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N^*）的等比数列{a nk}，k∈N^*，使得数列{a nk}中每一项都是数列{a_n}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{n_k}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）因为a_n=f（(1)/(an−1)），f（x）=(2x+1)/(x)（x∈N^*，且n≥2），
所以a_n-a_n-1=2．
因为a₁=1，
所以数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列．
所以a_n=2n-1；
（2）①当n=2m，m∈N^*时，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-4（a₂+a₄+…+a_2m）=-4（2m+1）m=-2n（n+1）；
②当n=2m-1，m∈N^*时，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=2n²+6n+3
要使T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，
只要使-2n（n+1）≥tn²，（n为偶数）恒成立．
只要使-2（1+(1)/(n)）≥t，对n为偶数恒成立，
故实数t的取值范围为（-∞，3]；
（3）由a_n=2n-1，知数列{a_n}中每一项都是奇数．
当q=1时，显然不存在这样的数列{a_nk}．
当q=3时，若存在以a₁为首项，公比为3的数列{a_nk}，k∈N^*．
则an1=1，n₁=1，所以ank=3^k-1=2n_k-1，
所以n_k=(3k−1+1)/(2)．
所以满足条件的数列{n_k}的通项公式为n_k=(3k−1+1)/(2)．