（2014•盐城一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，S6=22．（1）求Sn；（2）若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{bkn}，其中k1=1，且k1＜k2＜…＜kn＜…，kn∈N*．①当q取最小值时，求{kn

Question

（2014•盐城一模）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，S₆=22．
（1）求S_n；
（2）若从{a_n}中抽取一个公比为q的等比数列{bkn}，其中k₁=1，且k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，k_n∈N^*．
①当q取最小值时，求{k_n}的通项公式；
②若关于n（n∈N^*）的不等式6S_n＞k_n+1有解，试求q的值．

Answer 1

（1）设等差数列的公差为d，则
∵a₁=2，S₆=22，
∴6•2+(6•5)/(2)d=22，
∴d=(2)/(3)，
∴S_n=(n(n+5))/(3)；
（2）①数列{a_n}是正项递增等差数列，故数列{akn}的公比q＞1，
若k₂=2，则由a2＝(8)/(3)，得q=(4)/(3)，此时ak3=2•（(4)/(3)）²=(32)/(9)，由(32)/(9)=(2)/(3)（n+2）
解得n=(10)/(3)∉N^*，∴k₂＞2，同理k₂＞3；
若k₂=4，则由a₄=4得q=2，此时akn=2•2^n-1组成等比数列，
∴2•2^n-1=(2)/(3)（m+2），
∴3•2^n-1=m+2，对任何正整数n，只要取m=3•2^n-1-2，即akn是数列{a_n}的第3•2^n-1-2项．最小的公比q=2．
∴kn＝3•2n−1−2．
②∵akn=(2kn+4)/(3)=2•q^n-1，∴k_n=3q^n-1-2，
∵6S_n＞k_n+1有解，
∴(2n(n+5)+2)/(3qn)＞1有解，
q=2，3，4时，n=1，都符合题意；
下面证明q≥5时，(2n(n+5)+2)/(3qn)＞1无解．
设b_n=(2n(n+5)+2)/(3qn)，则b_n+1-b_n=(2[(1−q)n2+(7−5q)n+7−q])/(3qn+1)，
∵(5q−7)/(2−2q)

作业帮用户 2017-10-15