设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁PnA，则2x∉∁PnA．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．

Question

设集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A⊆P_n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁PnA，则2x∉∁PnA．
（1）求f（4）；
（2）求f（n）的解析式（用n表示）．

Answer 1

解（1）当n=4时，P₄={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}
故f（4）=4
（2）任取偶数x∈p_n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，
于是x=m•2^k，其中m为奇数，k∈N^*
由条件可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数
           若m∉A，则x∈A⇔k为奇数
于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q_n是P_n中所有的奇数的集合
因此f（n）等于Q_n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P_n中奇数的个数是(1)/(2)n（或(1+n)/(2)）
∴f(n)＝

2(n)/(2)，n为偶数

2(n+1)/(2)，n为奇数