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已知{an}(n=1,2,3,…)是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A,第n项之后各项an+1,an+2…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.(1)若{an}满足a1=3,当n≥2时,an=3n-1,写出d1,d2,d3
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已知{an}(n=1,2,3,…)是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A,第n项之后各项an+1,an+2…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.
(1)若{an}满足a1=3,当n≥2时,an=3n-1,写出d1,d2,d3的值;
(2)设d是非负整数,证明:dn=-d的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列.
(1)若{an}满足a1=3,当n≥2时,an=3n-1,写出d1,d2,d3的值;
(2)设d是非负整数,证明:dn=-d的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列.
▼优质解答
答案和解析
(1) ∵an}满足a1=3,当n≥2时,an=3n-1,可知数列{an}为单调递增数列.
∴当n=1时,A1=a1=3;B1=a2=32-1=8,d1=A1-B1=3-8=-5.
当n=2时,A2=a2=8;B2=a3=33-1=26,d2=A2-B2=8-26=-18.
当n=3时,A3=a3=26;B3=a4=34-1=80,d3=A3-B3=26-80=-54.
(2)证明:充分性:设{an}是公差为d的等差数列,d是非负整数.
则An=an,Bn=an+1,∴dn=An-Bn=an-an+1=-d.
必要性:若 dn=An-Bn=-d,(n=1,2,3,4…).假设ak是第一个使ak-ak-1<0的项,
则dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak>0,这与dn=-d≤0相矛盾,故{an}是一个不减的数列.
∴dn=An-Bn=an-an+1=-d,即 an+1-an=d,故{an}是公差为d的等差数列.
∴当n=1时,A1=a1=3;B1=a2=32-1=8,d1=A1-B1=3-8=-5.
当n=2时,A2=a2=8;B2=a3=33-1=26,d2=A2-B2=8-26=-18.
当n=3时,A3=a3=26;B3=a4=34-1=80,d3=A3-B3=26-80=-54.
(2)证明:充分性:设{an}是公差为d的等差数列,d是非负整数.
则An=an,Bn=an+1,∴dn=An-Bn=an-an+1=-d.
必要性:若 dn=An-Bn=-d,(n=1,2,3,4…).假设ak是第一个使ak-ak-1<0的项,
则dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak>0,这与dn=-d≤0相矛盾,故{an}是一个不减的数列.
∴dn=An-Bn=an-an+1=-d,即 an+1-an=d,故{an}是公差为d的等差数列.
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