已知圆C：x2＋y2＋2x-4y＋1=0,若圆C的切线在x轴y轴上截距相等已知圆C：x2＋y2＋2x-4y＋1=0,（1）若圆C的切线在x轴、y轴上截距相等,求切线的方程.（2）从圆外一点P（x,y）向圆引切线PM,M为切点,O为

Question

已知圆C：x2＋y2＋2x-4y＋1=0,若圆C的切线在x轴y轴上截距相等
已知圆C：x2＋y2＋2x-4y＋1=0,（1）若圆C的切线在x轴、y轴上截距相等,求切线的方程.（2）从圆外一点P（x,y）向圆引切线PM,M为切点,O为原点,若｜PM｜=｜PO｜,求使｜PM｜最小的P点坐标

Answer 1

(1) 设相等的截距为a,则切线方程为 x+y=a,即 y= -x+a
代入圆的方程：x²＋ (-x+a)²＋2x-4( -x+a)＋1=0
整理得 2x²＋ (6-2a)x+a²-4a+1=0
则 Δ= (6-2a)²-4·2·(a²-4a+1)=0
解得 a=1±2√2
切线方程为 x+y-1-2√2=0 或 x+y-1+2√2=0
(2) 圆C：x²＋y²＋2x-4y＋1=0 配成标准方程为
(x+1)²+(y-2)²=4
其圆心坐标为 C(-1,2),半径为 r=2,
则 |PM|²= |PC|²-r² = (x+1)²+(y-2)²-4………………①
|PO|²=x²+y²,
因为|PM|=|PO|,
所以 (x+1)²+(y-2)²-4=x²+y²
整理得 y=x/2+1/4
代入① |PM|²= (x+1)²+(x/2+1/4-2)²-4
=5/4 x²-1/4 x+1/16
=5/4 (x+1/10)²+1/20
所以,当x= -1/10 时,|PM|最小为 √(1/20)=√5/10,
即当P点坐标为 ( -1/10,1/5) 时,|PM|最小为 √5/10.