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设A为n阶方阵,且R(A)=r<n,则在A的列向量中()A.必有r个列向量线性无关B.任意一个列向量都可由其中r个列向量线性表示C.任意r个列向量都构成最大无关组D.任意r个列向量线性
题目详情
设A为n阶方阵,且R(A)=r<n,则在A的列向量中( )
A.必有r个列向量线性无关
B.任意一个列向量都可由其中r个列向量线性表示
C.任意r个列向量都构成最大无关组
D.任意r个列向量线性无关
A.必有r个列向量线性无关
B.任意一个列向量都可由其中r个列向量线性表示
C.任意r个列向量都构成最大无关组
D.任意r个列向量线性无关
▼优质解答
答案和解析
因为矩阵A的秩=A的列向量组的秩,
所以列向量组的秩=r<n.
利用向量组的秩的概念可得,
必然存在r个线性无关的列向量,
且任意一个列向量都可以由这r个列向量线性表示.
因此,选项A正确.
取A=
=(α1,α2,α3,α4),R(A)=2,可以说明选项B、C、D均错误.
因为列向量组不能由2个向量α2,α3线性表出,故B错误.
由于α2,α3线性相关,故不能构成最大无关组,从而选项C、D均错误.
综上,正确选项为A,
故选:A.
所以列向量组的秩=r<n.
利用向量组的秩的概念可得,
必然存在r个线性无关的列向量,
且任意一个列向量都可以由这r个列向量线性表示.
因此,选项A正确.
取A=
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因为列向量组不能由2个向量α2,α3线性表出,故B错误.
由于α2,α3线性相关,故不能构成最大无关组,从而选项C、D均错误.
综上,正确选项为A,
故选:A.
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