设A为一个n阶方阵,证明r(A^n)=r(A^n+1)=r(A^n+2)不要用若当标准型,也不要证明线性方程组同解,设A为一个n阶方阵,证明r(A^n)=r(A^n+1)=r(A^n+2)不要用若当标准型,也不要证明线性方程组同解,

Question

设A为一个n阶方阵,证明r(A^n)=r(A^n+1)=r(A^n+2) 不要用若当标准型,也不要证明线性方程组同解,
设A为一个n阶方阵,证明r(A^n)=r(A^n+1)=r(A^n+2)
不要用若当标准型,也不要证明线性方程组同解,

Answer 1

用同解的证法是最基础的, 为什么不用?
不考虑解空间的话, 考虑像空间也是一样的:
易得n = r(E) ≥ r(A) ≥ r(A^2) ≥ ... ≥ r(A^n).
若上述不等号都是严格的, 则有r(A^n) = 0, 从而r(A^n) = r(A^(n+1)) = r(A^(n+2)) = 0.
而若存在0 ≤ k < n使r(A^k) = r(A^(k+1)),
由A^k的列向量生成的子空间与A^(k+1)列向量生成的子空间相同(前者包含后者且维数相等).
同时左乘A^(n-k)即知A^n的列向量生成的子空间与A^(n+1)列向量生成的子空间相同,
从而相应维数r(A^n) = r(A^(n+1)).
也可以考虑证明不等式(Frobenius不等式的特例):
对0 ≤ k ≤ m, r(A^k)+r(A^(m+1)) ≥ r(A^(k+1))+r(A^m).
考虑分块矩阵: [A^(k+1),0;A^k,A^m], 可知r([A^(k+1),0;A^k,A^m]) ≥ r(A^(k+1))+r(A^m).
而由分块初等变换, r([A^(k+1),0;A^k,A^m])
= r([0,-A^(m+1);A^k,A^m])
= r([0,-A^(m+1);A^k,0])
= r(A^k)+r(A^(m+1)).
这样由r(A^k) = r(A^(k+1))可推出r(A^(m+1)) ≥ r(A^m) ≥ r(A^(m+1)), 从而等号成立.