已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3）．（1）求数列{an}前三项之和S3的值；（2）证明：数列{an+an-1}（n≥2）是等比数列；（3）求数列{an}的通项公式．

Question

已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．
（1）求数列{a_n}前三项之和S₃的值；
（2）证明：数列{a_n+a_n-1}（n≥2）是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2，
∴a₃=2a₂-3a₁=19，
S3=a₁+a₂+a₃=26．
（2）∵a_n=2a_n-1+3a_n-2，等号两端同时加上a_n-1，整理得a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
∴(an+an−1)/(an−1+an−2)=3，
∴数列{a_n+a_n-1}（n≥2）是等比数列．
（3）由（2）知，数列{a_n+a_n-1}的通项为：a_n+a_n-1=7×3^n-2，n≥2，
拆项累和得：
（-1）ⁿa_n=[（-1）ⁿa_n-（-1）^n-1a_n-1]+[（-1）^n-1a_n-1-（-1）^n-2a_n-2]+…+[（-1）²a₂-（-1）a₁]+（-1）a₁，
=7•[（-3）^n-2+（-3）^n-3+…+（-3）⁰-5
=(7•[1−(−3)n−1])/(1+3)-5
=-(7)/(4)•（-3）^n-1-(13)/(4)，
∴a_n=(7)/(4)•（-3）^n-1-(13)/(4)（-1）ⁿ，n≥2，
经验证知，上式对n=1也成立，
故数列的通项公式为：a_n=(7)/(4)•（-3）^n-1-(13)/(4)（-1）ⁿ，n∈N^*．