已知对于任意a,b∈R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)*f(b),且f(0)≠0(1)求证:f(x)为偶函数（2）若存在正数m使得f(m)=o,求满足f(x+T)=f(x)的一个T值(T≠0)

Question

已知对于任意a,b∈R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)*f(b),且f(0)≠0
(1)求证:f(x)为偶函数
（2）若存在正数m使得f(m)=o,求满足f(x+T)=f(x)的一个T值(T≠0)

Answer 1

1,令a=b,于是有f(2a)+f(0)=2f(a)f(a)
令b=-a,于是有f(0)+f(2a)=2f(a)f(-a)
比较上面两式,我们可以得到2f(a)f(a)=2f(a)f(-a)
于是有f(a)=0或f(a)=f(-a)
当f(a)=0时,由于a是任意的,所以有f(0)=0这与题意不符,故有f(a)不等于0
故只有f(a)=f(-a)
所以函数是偶函数.
2,令a=b=0我们可以得到2f(0)=2f(0)f(0),于是就有了f(0)=1.
f(x+T)=f(x)表明函数是周期为T的周期函数.
所以有f(a+T)=f(a),f(a-T)=f(a)
令b=T,得到f(a+T)+f(a-T)=2f(a)f(T)
于是有2f(a)=2f(a)f(T)
所以有f(T)=1
再令a=b=m代入得到f(2m)+f(0)=2f(m)^2=0
所以有f(2m)=-1
令a=b=2m代入得到f(4m)+f(0)=2f(2m)^2=2
所以有f(4m)=1.
同理可以有f(8m)=1,f(16m)=1.
对于f(4m*2^k)=1[k=0,1,2,3.]
所以有T=4m*2^k[k=0,1,2,3.]