在直角坐标系中,抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点,P是抛物线上的动点,Q是直线Y=-X上的动点,PQBO四点组成一个平行四边形,求点Q的坐标.答案有四点,我已经求出三点,最后一点Q（4,-4）怎么求?

Question

在直角坐标系中,抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点,P是抛物线上的动点,Q是直线Y=-X上的动点,PQBO四点组成一个平行四边形,求点Q的坐标.
答案有四点,我已经求出三点,最后一点Q（4,-4）怎么求?

Answer 1

抛物线与坐标轴 x 轴的交点为 A、C 点,
则抛物线方程为 y=k(x+4)(x-2)=k(x²+2x-8)
与 y 轴交点为 B 点,
则 -8k=-4,k=1/2
所以抛物线为 y=(1/2)x²+x-4.
①若 向量BO=向量QP,
由于 向量BO=(0,4),Q(x,-x)
则 P(x,-x+4),
于是,将P 代入抛物线中,
可得 -x+4=(1/2)x²+x-4
解得 x=-2±2√5
所以 Q(-2±2√5,-(-2±2√5))；
②若 向量BO=向量PQ,
由于 向量BO=(0,4),Q(x,-x)
则 P(x,-x-4),
于是,将P 代入抛物线中,
可得 –x-4=(1/2)x²+x-4
解得 x=0 或 x=-4
由于 x=0 使Q 为原点,
所以 Q(-4,4)；
③若 向量PB=向量OQ,
由于 向量OQ=(x,-x),B(0,-4)
则 P(-x,x-4),
于是,将P 代入抛物线中,
可得 x-4=(1/2)(-x)²+(-x)-4
解得 x=0 或 x=4
由于 x=0 使Q 为原点,
所以 Q(4,-4).
综上,共4点：(-2±2√5,-(-2±2√5)),(±4,-(±4)).