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如图,抛物线c1:y=ax2-2ax-c与x轴交于A、B,且AB=6,与y轴交于C(0,-4).小题1:求抛物线c1的解析式;小题2:问抛物线c1上是否存在P、Q(点P在点Q的上方)两点,使得以A、C、P、Q为顶点的
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如图,抛物线c1:y=ax2-2ax-c与x轴交于A、B,且AB=6,与y轴交于C(0,-4 ). 小题1:求抛物线c1的解析式; 小题2:问抛物线c1上是否存在P、Q(点P在点Q的上方)两点,使得以A、C、P、Q为顶点的四边形为直角梯形,若存在,求P、Q两点坐标;若不存在,请说明理由; 小题3:抛物线c 2 与抛物线c 1 关于x轴对称,直线x=m分别交c 1 、c 2 于D、E两点,直线x=n分别交c 1 、c 2 于M、N两点,若四边形DMNE为平行四边形,试判断m和n间的数量关系,并说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
小题1: 小题2:存在,P、Q的坐标分别为(5, ),(3, )或(-5, ),(3,- ) 小题3:m+n=0,m≠0,n≠0. |
此题是二次函数的综合题,涉及到求解析式、平行四边的性质等。 (1)把C(0.-4)代入抛物线的解析式得:c=4, ∴y=ax 2 -2ax-4, ∵AB=6, 所以 = 解得:a=0(舍去),a= , ∴ (2)有两种情况:①当∠PAC=∠ACQ=90°时如图(1),连接AQ,设Q(x,x 2 -x-4), 由勾股定理得:AQ 2 =AC 2 +CQ 2 , 代入得: 解得:x=0(舍去),x=3, 当x="3" 时,x 2 -x-4=- , ∴Q(3, ), 同法可求P的坐标是(5, ); ②当∠ACQ=∠PQC=90°时如图(2),与①解法类似可求出Q的坐标是(3,- ),P的坐标是(-5, ); 故存在,P、Q的坐标分别为(5, ),(3, )或(-5, ),(3,- ). (3)答:m和n间的数量关系是m+n=0,且m≠0,n≠0. 理由是:∵抛物线c 2 与抛物线c 1 关于x轴对称, ∴两抛物线的形状相同,开口方向相反,且都关于Y轴对称, ∵直线x=m分别交c 1 、 c 2 于D、E两点,直线x=n分别交c1、c2于M、N两点,四边形DMNE为平行四边形, ∴直线m n垂直于X轴(m∥n),DE=MN,DE与 MN关于Y轴对称, ∴m+n=0,m≠0,n≠0. |
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