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已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=(3,-1)共线.1)若椭圆过点(√3,-1),求椭圆C的方程.2)设M为椭圆上任意一点,且向量O
题目详情
已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=(3,-1)共线.
1)若椭圆过点(√3,-1),求椭圆C的方程.
2)设M为椭圆上任意一点,且向量OM=λOA+μOB,(λ,μ∈R,注意OA,OB均为向量),证明:λ^2+μ^2为定值.
1)若椭圆过点(√3,-1),求椭圆C的方程.
2)设M为椭圆上任意一点,且向量OM=λOA+μOB,(λ,μ∈R,注意OA,OB均为向量),证明:λ^2+μ^2为定值.
▼优质解答
答案和解析
1)
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,
直线AB:y=x-c,
联立消去y可得:
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0,
令A=(x1,y1),B=(x2,y2),
则x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2) ,x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2),
向量OA+ OB=(x1+x2,y1+y2), 与向量a=(3,-1)共线,
所以3(y1+y2)+(x1+x2)=0,
即3(x1-c+x2-c)+(x1+x2)=0,
4(x1+x2)-6c=0,
化简得:a^2=3b^2.
椭圆过点(√3,-1),所以3/a^2+1/b^2=1,
联立解得:a^2=6,b^2=2.
椭圆方程为x^2/6+y^2/2=1.
2)
椭圆x^2/6+y^2/2=1
即:x^2+3y^2=6 ,①
设向量OM=(x,y),OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)
(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)
即:x=λx1+μx2
y=λy1+μy2
M在椭圆上,把坐标代入椭圆方程①
(λx1+μx2)^2+3(λy1+μy2)^2=6 ,
λ^2(x1^2+3y1^2)+μ^2(x2^2+3y2^2) +2λμ(x1*x2+3y1*y2)=6 ,②
直线过右焦点,直线方程即: y=x-c ,
把直线代入椭圆,直线交椭圆于AB,求交点:
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2*c^2-a^2*b^2=0
因为前面已证a^2=3b^2,所以c^2=a^2-b^2=2b^2,
由韦达定理:
x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2)=3/2*c,
x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=3/8*c^2
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1*x2-3(x1+x2)c+3c^2
=3/2c^2-9/2c^2+3c^2=0
而A,B在椭圆上:
x1^2+3y1^2=6 ,x2^2+3y2^2=6 全部代入②知:
λ^2+μ^2=1 为定值.
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,
直线AB:y=x-c,
联立消去y可得:
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0,
令A=(x1,y1),B=(x2,y2),
则x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2) ,x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2),
向量OA+ OB=(x1+x2,y1+y2), 与向量a=(3,-1)共线,
所以3(y1+y2)+(x1+x2)=0,
即3(x1-c+x2-c)+(x1+x2)=0,
4(x1+x2)-6c=0,
化简得:a^2=3b^2.
椭圆过点(√3,-1),所以3/a^2+1/b^2=1,
联立解得:a^2=6,b^2=2.
椭圆方程为x^2/6+y^2/2=1.
2)
椭圆x^2/6+y^2/2=1
即:x^2+3y^2=6 ,①
设向量OM=(x,y),OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)
(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)
即:x=λx1+μx2
y=λy1+μy2
M在椭圆上,把坐标代入椭圆方程①
(λx1+μx2)^2+3(λy1+μy2)^2=6 ,
λ^2(x1^2+3y1^2)+μ^2(x2^2+3y2^2) +2λμ(x1*x2+3y1*y2)=6 ,②
直线过右焦点,直线方程即: y=x-c ,
把直线代入椭圆,直线交椭圆于AB,求交点:
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2*c^2-a^2*b^2=0
因为前面已证a^2=3b^2,所以c^2=a^2-b^2=2b^2,
由韦达定理:
x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2)=3/2*c,
x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=3/8*c^2
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1*x2-3(x1+x2)c+3c^2
=3/2c^2-9/2c^2+3c^2=0
而A,B在椭圆上:
x1^2+3y1^2=6 ,x2^2+3y2^2=6 全部代入②知:
λ^2+μ^2=1 为定值.
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