已知斐波那契数列{Fn}满足：F1=1，F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn（n∈N*），若数列{Fn+1+λFn}是等比数列（λ为实常数）．（1）求出所有λ的值，并求数列{Fn}的通项公式；（2）求证：1F1+1F2+…+1F2007＜72．

Question

已知斐波那契数列{F_n}满足：F₁=1，F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N*），若数列{F_n+1+λF_n}是等比数列（λ为实常数）．
（1）求出所有λ的值，并求数列{F_n}的通项公式；
（2）求证：(1)/(F1)+(1)/(F2)+…+(1)/(F2007)＜(7)/(2)．

Answer 1

（1）设F_n+2+λF_n+1=q（F_n+1+λF_n）（q≠0），
则F_n+2=（q-λ）F_n+1+qλF_n
又因为F_n+2=F_n+1+F_n
∴

q−λ＝1

qλ＝1

，
解得

λ＝(−1+√(5))/(2)

q＝(1+√(5))/(2)

或√(λ＝−1−作业帮用户2017-11-12问题解析（1）设Fn+2+λFn+1=q（Fn+1+λFn）（q≠0）则Fn+2=（q-λ）Fn+1+qλFn，又因为Fn+2=Fn+1+Fn，所以q−λ＝1qλ＝1，由此能够求出所有λ的值，并求出数列{Fn}的通项公式．（2）由Fn＞0，知Fn+2=Fn+1+Fn＞Fn+1，{Fn}为递增数列．所以Fn+2=Fn+1+Fn＞Fn+Fn，即Fn+2＞2Fn．由此入手能够证明(1)/(F1)+(1)/(F2)+…+(1)/(F2007)＜(7)/(2)．名师点评本题考点：数列与不等式的综合．考点点评：本题考查数列与不等式的综合应用能力，综合性强，难度是高考的重点，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意培养计算能力，注意合理地进行等价转化．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)