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如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N.(1)求证:EM+FN=AB;
题目详情
如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N.
(1)求证:EM+FN=AB;
(2)求△ABC面积的最大值;
(3)当△ABC面积最大时,在直线MN上找一点P,使得EP+FP的值最小,求出这个最小值.(结果可保留根号)
(1)求证:EM+FN=AB;
(2)求△ABC面积的最大值;
(3)当△ABC面积最大时,在直线MN上找一点P,使得EP+FP的值最小,求出这个最小值.(结果可保留根号)
▼优质解答
答案和解析
(1)过C作CG⊥AB,
∴∠CAG+∠ACG=90°,
∵△AEC为等腰直角三角形,
∴∠EAC=90°,AE=AC,
∴∠CAG+∠EAM=90°,
∴∠ACG=∠EAM,
∵在△ACG和△EAM中,
,
∴△ACG≌△EAM(AAS),
∴EM=AG,
同理GB=FN,
∴AB=AG+GB=EM+FN;
(2)在△ABC中,∠ACB=45°,AB=1,
∴根据余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB,
即1=AC2+BC2-
AC•BC≥2AC•BC-
AC•BC=(2-
)AC•BC,
∴AC•BC≤
=
,即AC•BC的最大值为
∴∠CAG+∠ACG=90°,
∵△AEC为等腰直角三角形,
∴∠EAC=90°,AE=AC,
∴∠CAG+∠EAM=90°,
∴∠ACG=∠EAM,
∵在△ACG和△EAM中,
|
∴△ACG≌△EAM(AAS),
∴EM=AG,
同理GB=FN,
∴AB=AG+GB=EM+FN;
(2)在△ABC中,∠ACB=45°,AB=1,
∴根据余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB,
即1=AC2+BC2-
2 |
2 |
2 |
∴AC•BC≤
1 | ||
2−
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2+
| ||
2 |
2+
|
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