在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），以AB为斜边在右上方作Rt△ABC．设点C坐标为（x，y），则（x+y）的最大值=．

Question

在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），以AB为斜边在右上方作Rt△ABC．设点C坐标为（x，y），则（x+y）的最大值=___．

Answer 1

由题可得，点C在以AB为直径的 D上运动，
点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，
此时，直线y=-x+m与 D相切，交x轴与E，如图所示，
连接OD，CD，
∵A（6，0）、B（0，2），
∴D（3，1），
∴OD=√(12+32)=√(10)，
∴CD=√(10)，
根据两点间的距离可得，C（3+√(5)，1+√(5)），
代入直线y=-x+m，可得
1+√(5)=-（3+√(5)）+m，
解得m=4+2√(5)，
∴x+y的最大值为4+2√(5)，
故答案为：4+2√(5)．