对于数列若存在常数M>0，对任意的n∈，恒有+…≤M则称数列为B-数列(1)首项为1，公比为q(|q|<1)的等比数列是否为B-数列？请说明理由；(2)设是数列的前n项和，给出下列两组论断；A组：①

Question

对于数列若存在常数M>0，对任意的n∈，恒有+…≤M
则称数列为B-数列
(1)首项为1，公比为q(|q|<1)的等比数列是否为B-数列？请说明理由；
(2)设是数列的前n项和，给出下列两组论断；
A组：①数列是B-数列②数列不是B-数列
B组：③数列是B-数列④数列不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(3)若数列，都是B-数列，证明：数列也是B-数列．____

Answer 1

【分析】(1)根据B-数列的定义，首项为1，公比为q(|q|<1)的等比数列，验证|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M即可；
(2)首项写出两个命题，根据B-数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；
(3)数列{a_n}，{b_n}都是B-数列，则有|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M₁，|b_n+1-b_n|+|b_n-a_n-1|…++|b₂-b₁|≤M₂，下面只需验证|a_n+1b_n+1-a_nb_n|+|a_nb_n-a_n-1b_n-1|+…+|a₂b₂-a₁b₁|≤M．

解(1)设满足题设的等比数列为{a_n}，则a_n=q^n-1，于是|a_n-a_n-1|=|q^n-1-q^n-2|=|q|^n-2|q-1|，n≥2
因此|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|=|q-1|(1+|q|+|q|²++|q|^n-1)．
因为|q|<1，所以1+|q|+|q|²+…+|q|^n-1=，即|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n1|+…+|a₂-a₁|<
故首项为1，公比为q(|q|<1)的等比数列是B-数列．
(2)命题1：若数列{x_n}是B-数列，则数列{S_n}是B-数列．
此命题为假命题．
事实上，设x_n=1，n∈N^*，易知数列{x_n}是B-数列，但S_n=n|S_n-1-S_n|+|S_n-S_n+1|+…+|S₂-S₁|=n
由n的任意性知，数列{S_n}是B-数列此命题为假命题．
命题2：若数列{S_n}是B-数列，则数列{x_n}是B-数列
此命题为真命题
事实上，因为数列{S_n}是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N^*，有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M
即|x_n+1|+|x_n|+…+|x₂|≤M．
于是|x_n+1-x_n|+|x_n-x_n-1|+…+|x₂-x₁|≤|x_n+1|+2|x_n|+2|x_n-1|+…+2|x₂|+2|x₁|≤2M+|x₁|
所以数列{x_n}是B-数列．
(3)若数列{a_n}{b_n}是B-数列，则存在正数M₁．M₂，
对任意的n∈N^*，有|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M₁，|b_n+1-b_n|+|b_n-a_n-1|…++|b₂-b₁|≤M₂
注意到|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1-a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M₁+|a₁|
同理：|b_n|≤M₂+|b₁|
记K₂=M₂+|b₂|，则有K₂=M₂+|b₂||a_n+1b_n+1-a_nb_n|=|a_n+1b_n+1-a_nb_n+1+a_nb_n+1-a_nb_n|≤|b_n+1||a_n+1-a_n|+|a_n||b_n+1-b_n|≤K₁|a_n+1-a_n|+k₁|b_n+1-b_n|
因此K₁(|b_n+1-b_n|+|b_n-b_n-1|+|a₂-a₁|)≤k₂M₁+k₁M₂
+K₁(|b_n+1-b_n|+|b_n-b_n-1|+|a₂-a₁|)≤k₂M₁+k₁M₂
故数列{a_nb_n}是B-数列．

【点评】考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题(2)(3)的设置，增加了题目的难度，综合性较强，属难题．