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(2005•福州)已知:抛物线y=x2-2x-m(m>0)与y轴交于点C,C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点.(1)求C点,C′点的坐标(可用含m的代数式表示);(2)如果点Q在抛物线的对称轴上,点
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(2005•福州)已知:抛物线y=x2-2x-m(m>0)与y轴交于点C,C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点.
(1)求C点,C′点的坐标(可用含m的代数式表示);
(2)如果点Q在抛物线的对称轴上,点P在抛物线上,以点C,C′,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求Q点和P点的坐标(可用含m的代数式表示);
(3)在(2)的条件下,求出平行四边形的周长.
(1)求C点,C′点的坐标(可用含m的代数式表示);
(2)如果点Q在抛物线的对称轴上,点P在抛物线上,以点C,C′,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求Q点和P点的坐标(可用含m的代数式表示);
(3)在(2)的条件下,求出平行四边形的周长.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据抛物线的解析式y=x2-2x-m(m>0)可求出对称轴直线,令x=0,可求出C点坐标,根据其对称轴可求出C′的坐标.
(2)画出图形,根据平行四边形的性质,令对边平行且相等或对角线互相垂直平分解答.
(3)根据勾股定理求出各边长,即可求出四边形周长.
【解析】
(1)所求对称轴为直线x=1,C(0,-m)C′(2,-m);
(2)如图所示
①当PQ∥CC′且PQ=2时,P横坐标为3,代入二次函数解析式求得P(3,3-m),
②当P′Q∥CC′且PQ=2时,P横坐标为-1,代入二次函数解析式求得P(-1,3-m),
③因为CC′⊥Q'P″,当Q′F=P″F,CF=C'F时,P″为二次函数顶点坐标,为(1,-1-m),
由于P″和Q′关于直线CC′对称,
所以Q′纵坐标为2(-m)+1+m=-m+1,
得Q′(1,1-m),
所以满足条件的P、Q坐标为P(-1,3-m),Q(1,3-m);P′(3,3-m),Q(1,3-m);P″(1,-1-m),Q′(1,1-m).
(3)①因为Q点纵坐标为3-m,C点纵坐标为-m,
所以CW=3-m+m=3,又因为WQ=1,
所以CQ==,
又因为CC′=2,
所以平行四边形CC′P′Q周长为(2+)×2=4+2,
同理,平行四边形CC′QP周长也为4+2.
②因为CF=1,FQ=[1-m-(-1-m)]=1,C′Q==.
平行四边形CC′P′Q周长为4,
所求平行四边形周长为4+2或.
(2)画出图形,根据平行四边形的性质,令对边平行且相等或对角线互相垂直平分解答.
(3)根据勾股定理求出各边长,即可求出四边形周长.
【解析】
(1)所求对称轴为直线x=1,C(0,-m)C′(2,-m);
(2)如图所示
①当PQ∥CC′且PQ=2时,P横坐标为3,代入二次函数解析式求得P(3,3-m),
②当P′Q∥CC′且PQ=2时,P横坐标为-1,代入二次函数解析式求得P(-1,3-m),
③因为CC′⊥Q'P″,当Q′F=P″F,CF=C'F时,P″为二次函数顶点坐标,为(1,-1-m),
由于P″和Q′关于直线CC′对称,
所以Q′纵坐标为2(-m)+1+m=-m+1,
得Q′(1,1-m),
所以满足条件的P、Q坐标为P(-1,3-m),Q(1,3-m);P′(3,3-m),Q(1,3-m);P″(1,-1-m),Q′(1,1-m).
(3)①因为Q点纵坐标为3-m,C点纵坐标为-m,
所以CW=3-m+m=3,又因为WQ=1,
所以CQ==,
又因为CC′=2,
所以平行四边形CC′P′Q周长为(2+)×2=4+2,
同理,平行四边形CC′QP周长也为4+2.
②因为CF=1,FQ=[1-m-(-1-m)]=1,C′Q==.
平行四边形CC′P′Q周长为4,
所求平行四边形周长为4+2或.
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