求一个二次三项式的公因式设a,b,c,为三角形ABC的三边,且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx+b2有一次公因式.证明：三角形ABC一定是直角三角形注明：x与b之后的2都是2次方的意思

Question

求一个二次三项式的公因式
设a,b,c,为三角形ABC的三边,且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx+b2有一次公因式.证明：三角形ABC一定是直角三角形 注明：x与b之后的2 都是2次方的意思

Answer 1

这个题关键就在于如何利用后面那个条件.
假设x^2+2ax+b^2=(x+m)(x+n)
x^2+2cx-b^2=(x+m)(x+p)
那么展开式子,对应项系数分别相等.
那么m+n=2a mn=b^2 m+p=2c mp=-b^2
所以很明显n=-p
代入得到m-p=2a m+p=2c
所以m=a+c p=a-c n=c-a
所以b^2=mn=a^2-c^2
也就是说,a^2=b^2+c^2
得证.