设a>1,n>1,称a^n为一个完全方幂,证明:p为质数时,2^p+3^p不是完全方幂

Question

设a>1,n>1,称a^n为一个完全方幂,证明:p为质数时,2^p+3^p不是完全方幂

Answer 1

证明:
当p=2,5时,可直接验证
当p不是2也不是5时,p是不能被5整除的奇数,将2^p+3^p因式分解得
2^p+3^p=(2+3)*{2^(p-1)-2^(p-2)*3+...+3^(p-1)},
由于3和-2模5同余,所以2^(p-1)-2^(p-2)*3+...+3^(p-1)和p*2^(p-1)模5同余,于是2^p+3^p是5的倍数,但不是25的倍数
证毕