如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点C（1，0），在抛物线y＝12x2−12x−2上存在点B，使△ABC是以AC为直角边的等腰直角三角形，这样的点B有（）A．4个B．3个C．2个D．1个

Question

如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点C（1，0），在抛物线y＝(1)/(2)x2−(1)/(2)x−2上存在点B，使△ABC是以AC为直角边的等腰直角三角形，这样的点B有（　　）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer 1

∵点A（0，2），点C（1，0），
∴OA=2，OC=1，
以AC为直角边作等腰直角△ACN、△ACM、△ACP、△ACQ，如图，
作NE⊥x轴于E，
∵∠ACN=90°，
∴∠ACO+∠NCE=90°，
而∠NCE+∠CNE=90°，
∴∠CNE=∠ACO，
在△ACO和△CNE中，

∠AOC＝∠CEN

∠ACO＝∠CNE

AC＝CN

，
∴△ACO≌△CNE（AAS），
∴CE=OA=2，NE=OC=1，
∴N点坐标为（3，1），
同理可得M（-1，-1）、P点坐标为（-2，1）、Q点坐标为（2，3），
当x=3时，y＝(1)/(2)x2−(1)/(2)x−2=1；当x=-1时，y＝(1)/(2)x2−(1)/(2)x−2=-1；当x=-2时，y＝(1)/(2)x2−(1)/(2)x−2=1；当x=2时，y＝(1)/(2)x2−(1)/(2)x−2=-1；
∴点N、M、P在抛物线上，
∴满足条件的B点有三个，即点B分别在点N、M、P处．
故选B．