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(2013•湛江)如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.(1)求证:PA为⊙O的切线;(2)若OB=5,OP=253,求AC的长.
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(2013•湛江)如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.
(1)求证:PA为⊙O的切线;
(2)若OB=5,OP=
,求AC的长.
(1)求证:PA为⊙O的切线;
(2)若OB=5,OP=
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°.
又∵OP∥BC,
∴∠AOP=∠B,
∴∠BAC+∠AOP=90°.
∵∠P=∠BAC.
∴∠P+∠AOP=90°,
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°,即OA⊥AP.
又∵OA是的⊙O的半径,
∴PA为⊙O的切线;
(2)由(1)知,∠PAO=90°.∵OB=5,
∴OA=OB=5.
又∵OP=
,
∴在直角△APO中,根据勾股定理知PA=
=
,
由(1)知,∠ACB=∠PAO=90°.
∵∠BAC=∠P,
∴△ABC∽△POA,
∴
=
.
∴
=
,
解得AC=8.即AC的长度为8.
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°.
又∵OP∥BC,
∴∠AOP=∠B,
∴∠BAC+∠AOP=90°.
∵∠P=∠BAC.
∴∠P+∠AOP=90°,
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°,即OA⊥AP.
又∵OA是的⊙O的半径,
∴PA为⊙O的切线;
(2)由(1)知,∠PAO=90°.∵OB=5,
∴OA=OB=5.
又∵OP=
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∴在直角△APO中,根据勾股定理知PA=
PO2−OA2 |
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由(1)知,∠ACB=∠PAO=90°.
∵∠BAC=∠P,
∴△ABC∽△POA,
∴
AB |
PO |
AC |
PA |
∴
10 | ||
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AC | ||
|
解得AC=8.即AC的长度为8.
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