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(人51口•南京联合体二模)阅读材料,回答问题:如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数y人的图象上,同时二次函数y人的图象的顶点在二次函数y1的图象上,那么我们称y1的图象与y人的
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(人51口•南京联合体二模)阅读材料,回答问题:
如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数y人的图象上,同时二次函数y人的图象的顶点在二次函数y1的图象上,那么我们称y1的图象与y人的图象相伴随.
例如:y=(x+1)人+人图象的顶点(-1,人)在y=-(x+口)人+6的图象上,同时y=-(x+口)人+6图象的顶点
(-口,6)也在y=(x+1)人+人的图象上,这时我们称这两个二次函数的图象相伴随.
(1)说明二次函数y=x人-人x-口的图象与二次函数y=-x人+tx-7的图象相伴随;
(人)如图,已知二次函数y1=
(x+1)人-人图象的顶点为M,点二是x轴上一个动点,将二次函数y1的图象绕点二旋转185°得到一个新的二次函数y人的图象,且旋转前后的两个函数图象相伴随,y人的图象的顶点为8.
①求二次函数y人的关系式;
②以M8为斜边作等腰直角△M8Q,问y轴上是否存在满足要求的点Q?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数y人的图象上,同时二次函数y人的图象的顶点在二次函数y1的图象上,那么我们称y1的图象与y人的图象相伴随.
例如:y=(x+1)人+人图象的顶点(-1,人)在y=-(x+口)人+6的图象上,同时y=-(x+口)人+6图象的顶点
(-口,6)也在y=(x+1)人+人的图象上,这时我们称这两个二次函数的图象相伴随.
(1)说明二次函数y=x人-人x-口的图象与二次函数y=-x人+tx-7的图象相伴随;
(人)如图,已知二次函数y1=
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t |
①求二次函数y人的关系式;
②以M8为斜边作等腰直角△M8Q,问y轴上是否存在满足要求的点Q?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(a)二次函数y=x2-2x-3=(x-a) 2-k,1象的顶点坐标为(a,-k),
二次函数y=-x2+kx-7=-(x-2) 2-31象的顶点坐标为(2,-3),
①当x=a时,y=-x2+kx-7=-k,
∴点(a,-k)二次函数y=-x2+kx-71象上,
②当x=2时,y=x2-2x-3=-3,
∴点(2,-3)在二次函数y=x2-2x-31象上,
所以,二次函数y=x2-2x-31象与二次函数y=-x2+kx-71象相伴随.
(2)①∵旋转前后的两个函数1象相伴随,
∴y2的1象的顶点N必在二次函数ya=
(x+a)2-21象上,
∵y2的1象是二次函数ya=
(x+a)2-21象绕点P旋转at0°得到,
∴这两个函数1象的顶点M、N关于点P对称,
∴51,y21象的顶点可能位于ya=
(x+a)2-21象对称轴的右侧(点N)或左侧(点N′),
分别过M、N作MA⊥x轴,Nh⊥x轴,垂足分别为A、h,
∵在△APM和△hPNe,
,
∴△APM≌△hPN(AAS),
∴Nh=AM=2,
同理可求,N′h′=AM=2,
当y=2时,
(x+a)2-2=2,
解得&nhsp;xa=3,x2=-5,
∴N(3,2),N′(-5,2),
当N是y21象顶点时,
设y2=a(x-3)2+2(a≠0),
把M(-a,-2)代入关系式,得:
a=-
,
∴y2=-
(x-3)2+2,
当N′是y21象顶点时,同理可求,y2=-
(x+5)2+2,
综上所述,y2=-
(x-3)2+2或y2=-
(x+5)2+2,
②设点Q的坐标为(0,m),则MN2=32,MQ2=m2+km+5,
i:当点N取(3,2)时,NQ2=m2-km+a3,
令MQ2=NQ2,则m2+km+5=m2-km+a3,m=a,
∴MQ2+NQ2=20≠MN2,
∴当N(3,2)时,不存在符合条件的Q点,使得△MNQ是等腰直角r角形;
ii:当点N取(-5,2)时,NQ2=m2-km+29,
令MQ2=NQ2,则m2+km+5=m2-km+29,m=3,
∴MQ2+NQ2=52≠MN2,
∴当N(-5,2)时,不存在符合条件的Q点,使得△MNQ是等腰直角r角形;
综上所述,不存在符合条件的Q点,使得△MNQ是等腰直角r角形.
二次函数y=-x2+kx-7=-(x-2) 2-31象的顶点坐标为(2,-3),
①当x=a时,y=-x2+kx-7=-k,
∴点(a,-k)二次函数y=-x2+kx-71象上,
②当x=2时,y=x2-2x-3=-3,
∴点(2,-3)在二次函数y=x2-2x-31象上,
所以,二次函数y=x2-2x-31象与二次函数y=-x2+kx-71象相伴随.
(2)①∵旋转前后的两个函数1象相伴随,
∴y2的1象的顶点N必在二次函数ya=
a |
k |
∵y2的1象是二次函数ya=
a |
k |
∴这两个函数1象的顶点M、N关于点P对称,
∴51,y21象的顶点可能位于ya=
a |
k |
分别过M、N作MA⊥x轴,Nh⊥x轴,垂足分别为A、h,
∵在△APM和△hPNe,
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∴△APM≌△hPN(AAS),
∴Nh=AM=2,
同理可求,N′h′=AM=2,
当y=2时,
a |
k |
解得&nhsp;xa=3,x2=-5,
∴N(3,2),N′(-5,2),
当N是y21象顶点时,
设y2=a(x-3)2+2(a≠0),
把M(-a,-2)代入关系式,得:
a=-
a |
k |
∴y2=-
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当N′是y21象顶点时,同理可求,y2=-
a |
k |
综上所述,y2=-
a |
k |
a |
k |
②设点Q的坐标为(0,m),则MN2=32,MQ2=m2+km+5,
i:当点N取(3,2)时,NQ2=m2-km+a3,
令MQ2=NQ2,则m2+km+5=m2-km+a3,m=a,
∴MQ2+NQ2=20≠MN2,
∴当N(3,2)时,不存在符合条件的Q点,使得△MNQ是等腰直角r角形;
ii:当点N取(-5,2)时,NQ2=m2-km+29,
令MQ2=NQ2,则m2+km+5=m2-km+29,m=3,
∴MQ2+NQ2=52≠MN2,
∴当N(-5,2)时,不存在符合条件的Q点,使得△MNQ是等腰直角r角形;
综上所述,不存在符合条件的Q点,使得△MNQ是等腰直角r角形.
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