已知函数f（x）=axex在x=0处的切线方程为y=x．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）<1k+2x-x2成立，求k的取值范围；（3）若函数g（x）=lnf（x）-b的两个零点为x1，x2，试判断g

Question

已知函数f（x）=(ax)/(ex)在x=0处的切线方程为y=x．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）<(1)/(k+2x-x2)成立，求k的取值范围；
（3）若函数g（x）=lnf（x）-b的两个零点为x₁，x₂，试判断g′（(x1+x2)/(2)）的正负，并说明理由．

Answer 1

（1）函数f（x）=(ax)/(ex)的导数为f′（x）=(a(x+1))/(ex)，
在x=0处的切线斜率为(a)/(e0)，
由切线的方程y=x，可得a=1；
（2）由题意可得x²-2x<k<(ex)/(x)+x²-2x在x∈（0，2）恒成立，
由x²-2x=（x-1）²-1∈（-1，0），可得k≥0；
由h（x）=(ex)/(x)+x²-2x的导数为h′（x）=（x-1）（2+(ex)/(x2)），
可得0<x<1时，h′（x）<0，h（x）递减；
1<x<2时，h′（x）>0，h（x）递增．
即有h（x）在x=1处取得最小值，且为e-1，则k<e-1．
综上可得k的范围是[0，e-1）；
（3）函数g（x）=lnf（x）-b的两个零点为x₁，x₂，
即为b=lnx-x有两个零点，
y=lnx-x的导数为y′=(1)/(x)-1，
当x>1时，y′<0，函数递减；0<x<1时，y′>0，函数递增．
即有x=1处取得最大值，且为-1．
画出y=b和y=lnx-x的图象，
可得(x1+x2)/(2)>1，
g（x）=lnx-x-b的导数为g′（x）=(1)/(x)-1，
g′（(x1+x2)/(2)）=(2)/(x1+x2)-1<0，
则g′（(x1+x2)/(2)）为负的．