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已知数列（an）中,an属于N,前n项和sn=1/8(an+2)的平方!求证数列{an}是等差数列
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已知数列（an）中,an属于N,前n项和sn=1/8(an+2)的平方!求证数列{an}是等差数列
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答案和解析
a1=s1=(a1+2)^2/8
8a1=(a1)^2+4a1+4
(a1)^2-4a1+4=0
(a1-2)^2=0
a1=2
sn=(an+2)^2/8
s(n-1)=[a(n-1)+2]^2/8
sn-s(n-1)=(an+2)^2/8-[a(n-1)+2]^2/8
8an=(an+2)^2-[a(n-1)+2]^2
8an=(an)^2+4an+4-a(n-1)]^2-4a(n-1)-4
(an)^2-4an-a(n-1)]^2-4a(n-1)=0
(an)^2-a(n-1)]^2-4an-4a(n-1)=0
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]-4[an+a(n-1)]=0
[an-a(n-1)-4][an+a(n-1)]=0
正项数列{an}
所以an-a(n-1)-4=0
an-a(n-1)=4
所以an是以4为公差的等差数列
an=a1+(n-1)d
=2+4(n-1)
=4n-2
8a1=(a1)^2+4a1+4
(a1)^2-4a1+4=0
(a1-2)^2=0
a1=2
sn=(an+2)^2/8
s(n-1)=[a(n-1)+2]^2/8
sn-s(n-1)=(an+2)^2/8-[a(n-1)+2]^2/8
8an=(an+2)^2-[a(n-1)+2]^2
8an=(an)^2+4an+4-a(n-1)]^2-4a(n-1)-4
(an)^2-4an-a(n-1)]^2-4a(n-1)=0
(an)^2-a(n-1)]^2-4an-4a(n-1)=0
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]-4[an+a(n-1)]=0
[an-a(n-1)-4][an+a(n-1)]=0
正项数列{an}
所以an-a(n-1)-4=0
an-a(n-1)=4
所以an是以4为公差的等差数列
an=a1+(n-1)d
=2+4(n-1)
=4n-2
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