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如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线l⊥AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M.(1)当直线l经过点C时(如图2),证明:BN=CD;(2)当M是
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如图1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线l⊥AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M.
(1)当直线l经过点C时(如图2),证明:BN=CD;
(2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明;
(3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系.
(1)当直线l经过点C时(如图2),证明:BN=CD;
(2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明;
(3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接ND.
∵AO平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∵直线l⊥AO于H,
∴∠4=∠5=90°,
∴∠6=∠7,
∴AN=AC,
∴NH=CH,
∴AH是线段NC的中垂线,
∴DN=DC,
∴∠8=∠9.
∴∠AND=∠ACB,
∵∠AND=∠B+∠3,∠ACB=2∠B,
∴∠B=∠3,
∴BN=DN.
∴BN=DC;
(2)如图,当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为CD=2CE.
证明:过点C作CN'⊥AO交AB于N'.
由(1)可得BN'=CD,AN'=AC,AN=AE.
∴∠4=∠3,NN'=CE.
过点C作CG∥AB交直线l于G.
∴∠4=∠2,∠B=∠1.
∴∠2=∠3.
∴CG=CE.
∵M是BC中点,
∴BM=CM.
在△BNM和△CGM中,
,
∴△BNM≌△CGM(ASA).
∴BN=CG.
∴BN=CE.
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE.
(3)BN、CE、CD之间的等量关系:
当点M在线段BC上时,CD=BN+CE;
当点M在BC的延长线上时,CD=BN-CE;
当点M在CB的延长线上时,CD=CE-BN.
∵AO平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∵直线l⊥AO于H,
∴∠4=∠5=90°,
∴∠6=∠7,
∴AN=AC,
∴NH=CH,
∴AH是线段NC的中垂线,
∴DN=DC,
∴∠8=∠9.
∴∠AND=∠ACB,
∵∠AND=∠B+∠3,∠ACB=2∠B,
∴∠B=∠3,
∴BN=DN.
∴BN=DC;
(2)如图,当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为CD=2CE.
证明:过点C作CN'⊥AO交AB于N'.
由(1)可得BN'=CD,AN'=AC,AN=AE.
∴∠4=∠3,NN'=CE.
过点C作CG∥AB交直线l于G.
∴∠4=∠2,∠B=∠1.
∴∠2=∠3.
∴CG=CE.
∵M是BC中点,
∴BM=CM.
在△BNM和△CGM中,
|
∴△BNM≌△CGM(ASA).
∴BN=CG.
∴BN=CE.
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE.
(3)BN、CE、CD之间的等量关系:
当点M在线段BC上时,CD=BN+CE;
当点M在BC的延长线上时,CD=BN-CE;
当点M在CB的延长线上时,CD=CE-BN.
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