（2014•盐城一模）如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半

Question

（2014•盐城一模）如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为(1)/(5)x2m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均小于10m．
（1）求x的取值范围；（运算中√(2)取1.4）
（2）若中间草地的造价为a元/m²，四个花坛的造价为(4)/(33)ax元/m²，其余区域的造价为(12a)/(11)元/m²，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

Answer 1

（1）由题意可知，

x≥9

100−2x≥60

100√(2)−2x−2×(1)/(5)x2≥2×10

，
解得，

x≥9

x≤20

−20≤x≤15

，
即9≤x≤15．
（2）记“环岛”的整体造价为y元．
则由题意得，
y＝aπ×((1)/(5)x2)2+(4)/(33)ax×πx2+(12a)/(11)×(104−π×((1)/(5)x2)2−πx2)
=(a)/(11)[π(−(1)/(25)x4+(4)/(3)x3−12x2)+12×104]．
令f(x)＝−(1)/(25)x4+(4)/(3)x3−12x2，
则f′(x)＝−

作业帮用户 2016-12-07

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问题解析

（1）根据题目中的不等关系列出关于x的不等式组，求解即可；
（2）建立“环岛”的整体造价y与x的关系，然后利用导数求出y取最小值时x的取值即可．

名师点评

本题考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题主要考查不等关系列不等式，以及导数在函数最值问题中的应用．属于中档题．

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