已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，判断下列结论是否正确：（1）C1，M，O三点共线；（2）C1，M，O，C四点共面；（3）C1，O，A1，M四点共面；（4）D，D1，O，M四

Question

已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是DB的中点，直线A₁C交平面C₁BD于点M，判断下列结论是否正确：

（1）C₁，M，O三点共线；
（2）C₁，M，O，C四点共面；
（3）C₁，O，A₁，M四点共面；
（4）D，D₁，O，M四点共面．

Answer 1

（1）∵O是DB的中点，∴AC∩BD=O，
∴O∈AC，且O∈BD，
∵AC⊂平面ACC₁，BD⊂平面BDC₁，
∴O∈平面ACC₁，且O∈平面BDC₁，
∵直线A₁C交平面C₁BD于点M，
∴M∈A₁C，且M∈平面BDC₁，
∵A₁C⊂平面ACC₁，∴M∈平面ACC₁，
∵C₁∈平面ACC₁，且C₁∈平面BDC₁，
∴C₁，M，O是平面ACC₁和平面BDC₁的公共点，
∴C₁，M，O三点共线，故（1）正确．
（2）∵C₁，M，O三点共线，且C不在这条直线上，
∴由直线与直线外一点确定一个平面，得C₁，M，O，C四点共面，故（2）正确．
（3）∵C₁，M，O三点共线，且A₁不在这条直线上，
∴由直线与直线外一点确定一个平面，得C₁，O，A₁，M四点共面，故（3）正确．
（4）∵C₁O与DD₁是异面直线，M∈C₁O，
∴D，D₁，O，M四点不共面，故（4）错误．