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证明连续性有函数F如果实数X0.那么F(X)=3利用函数连续性的定义证明F在0处不连续.第一个差不多明白了。但还有一题,有一个函数F:X——R,f(x)=x^n试证明,任意一个正整数n,都能是f(x)在a包含
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证明连续性
有函数F
如果实数X0.那么F(X)=3
利用函数连续性的定义证明F在0处不连续.
第一个差不多明白了。但还有一题,
有一个函数F:X——R,f(x)=x^n
试证明,任意一个正整数n,都能是f(x)在a包含于X的导数 等于f`(a)=na^n-1
非常感谢2楼的回答,但是好像题目不是那个意思。因为题目最后给了一个提示,说的是:“请注意差商可以写成 Á(h) = ((a+h)^n - a^n) /h
嗯嗯,基本上看明白了,也回忆起了很多东西,最后一个问题:为什么要舍去了h^2以上的小量呢?小弟不才,望指教。呵呵
还有,我想起了以前的还一种极限的证明方法,或者在这道题中用哪个好点?
f'(x)=lim(Δx->0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx
=lim(Δx->0) ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
分子中除了第一项nΔx·x^(n-1)外,Δx的次数都至少是2,不再列出用 A 表示
所以 A/Δx->0
所以f'(x)=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
=lim(Δx->0) nx^(n-1)
=nx^(n-1)
有函数F
如果实数X0.那么F(X)=3
利用函数连续性的定义证明F在0处不连续.
第一个差不多明白了。但还有一题,
有一个函数F:X——R,f(x)=x^n
试证明,任意一个正整数n,都能是f(x)在a包含于X的导数 等于f`(a)=na^n-1
非常感谢2楼的回答,但是好像题目不是那个意思。因为题目最后给了一个提示,说的是:“请注意差商可以写成 Á(h) = ((a+h)^n - a^n) /h
嗯嗯,基本上看明白了,也回忆起了很多东西,最后一个问题:为什么要舍去了h^2以上的小量呢?小弟不才,望指教。呵呵
还有,我想起了以前的还一种极限的证明方法,或者在这道题中用哪个好点?
f'(x)=lim(Δx->0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx
=lim(Δx->0) ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
分子中除了第一项nΔx·x^(n-1)外,Δx的次数都至少是2,不再列出用 A 表示
所以 A/Δx->0
所以f'(x)=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
=lim(Δx->0) nx^(n-1)
=nx^(n-1)
▼优质解答
答案和解析
lim(x→0+)F(X)=-2
lim(x→0-)F(X)=3
lim(x→0+)F(X)≠lim(x→0-)F(X)
所以函数F(X),X=0处不连续
第二个问题就是证明,对于任意n,在F(X)的任意点可导.
首先对于任意的n,任意的X
F(X)=lim(x→X+)F(X)=lim(x→X-)F(X)=X^n,
可知道,F(X)在X处连续,
f`(X)|X→X+=nX^(n-1)
f`(X)|X→X-=nX^(n-1)
f`(X)|X→X+ = f`(X)|X→X-
所以 F(X)在X处可导
所以得证
题目的意思,我理解的是正确的,只是……万恶的教材啊,
是不是LZ教材里没学过f(x)=x^n的导数是什么呢?
所以题中的意思指不过就是让你先证明一遍
f`(X)=nX^(n-1),然后再按我这么证明而已.
关于这个导数的证明,因为符号不好打的关系,我用C(i,j)表示组合数
Á(h) = ((a+h)^n - a^n) /h(h是一个任意小的正数)
=(a^n+c(n,1)a^(n-1)h+^...+c(n,n-1)ah^(n-1)+h^n-a^n)/h
=c(n,1)a^(n-1)h/h(此处舍去了h^2以上的小量)
=na^(n-1)
f`(X)=nX^(n-1),就是这么证明出来的.
LZ明白了吧
关于第三个问题
请问LZ,下面的这个式子是怎么来的?
lim(Δx->0) ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
只不过换了个表示的字母而已,其他的和我说的方法本质是一样的吧.
在数学里,无穷小的整式就可以被看作是0.就是这么简单的道理.
如果LZ非要说这个是两种方法的话,应该是用哪种都对
lim(x→0-)F(X)=3
lim(x→0+)F(X)≠lim(x→0-)F(X)
所以函数F(X),X=0处不连续
第二个问题就是证明,对于任意n,在F(X)的任意点可导.
首先对于任意的n,任意的X
F(X)=lim(x→X+)F(X)=lim(x→X-)F(X)=X^n,
可知道,F(X)在X处连续,
f`(X)|X→X+=nX^(n-1)
f`(X)|X→X-=nX^(n-1)
f`(X)|X→X+ = f`(X)|X→X-
所以 F(X)在X处可导
所以得证
题目的意思,我理解的是正确的,只是……万恶的教材啊,
是不是LZ教材里没学过f(x)=x^n的导数是什么呢?
所以题中的意思指不过就是让你先证明一遍
f`(X)=nX^(n-1),然后再按我这么证明而已.
关于这个导数的证明,因为符号不好打的关系,我用C(i,j)表示组合数
Á(h) = ((a+h)^n - a^n) /h(h是一个任意小的正数)
=(a^n+c(n,1)a^(n-1)h+^...+c(n,n-1)ah^(n-1)+h^n-a^n)/h
=c(n,1)a^(n-1)h/h(此处舍去了h^2以上的小量)
=na^(n-1)
f`(X)=nX^(n-1),就是这么证明出来的.
LZ明白了吧
关于第三个问题
请问LZ,下面的这个式子是怎么来的?
lim(Δx->0) ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
只不过换了个表示的字母而已,其他的和我说的方法本质是一样的吧.
在数学里,无穷小的整式就可以被看作是0.就是这么简单的道理.
如果LZ非要说这个是两种方法的话,应该是用哪种都对
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