设函数f（x）在（-∞，+∞）内连续，且F（x）=∫x0（x-2t）f（t）dt，试证：（1）若f（x）为偶函数，则F（x）也是偶函数；（2）若f（x）为单调不增，则F（x）单调不减．

Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）内连续，且F（x）=

∫

x 0

（x-2t）f（t）dt，试证：
（1）若f（x）为偶函数，则F（x）也是偶函数；
（2）若f（x）为单调不增，则F（x）单调不减．

Answer 1

证明：
（1）
因为f（-x）=f（x），则有：
F(−x)＝

∫

−x 0

(−x−2t)f(t)dt，
令t=-u，于是：
F(−x)＝−

∫

x 0

(−x+2u)f(−u)du＝

∫

x 0

(x−2u)f(u)du=

∫

x 0

(x−2t)f(t)dt=F（x），证毕．

（2）
F′(x)＝[x

∫

x 0

f(t)dt−2

∫

x 0

tf(t)dt]
=

∫

x 0

f(t)dt+xf(x)−2xf(x)
=

∫

x 0

f(t)dt−xf(x)
=x[f（ξ）-f（x）]，其中ξ介于0与x之间，
由于f（x）单调不增，则：
①当x＞0时，f（ξ）-f（x）＞0，故F′（x）＞0；
②当x=0时，f（ξ）-f（x）=0，故F′（x）=0；
③当x＜0时，f（ξ）-f（x）＜0，故F′（x）＞0，
即：当x∈（-∞，+∞）时，F′（x）≥0，
所以：若f（x）单调不减，F（x）单调不增．