一道极限题··急求.在数列{an}中,a2=2,a6=10,且数列{√an-1}为等差数列（那1不是an的下标,但都在根号内.）,bn=1/（an+2-an+1）（an+1-an）(这里1,2都是下标..),求当n趋向于无穷大时,b1+b2+b3+……+bn的极

Question

一道极限题··急求.
在数列{an}中,a2=2,a6=10,且数列{√an-1}为等差数列（那1不是an的下标,但都在根号内.）,bn=1/（an+2-an+1）（an+1-an） (这里1,2都是下标..),求当n趋向于无穷大时,b1+b2+b3+……+bn的极限
蛋疼·。答案是2/3···哪个能证明8/3是对的·答案是错的·？或者给个确定的理由·。

Answer 1

{√an-1}为等差数列
{√a2-1}=1
{√a6-1}=3
因此每项之间差为(3-1)/4 =0.5
(√an-1) = (√a2-1) + 0.5 * (n-2) =0.5n
an = (0.5n)^2+1
a(n+2)-a(n+1) = (0.5n+1)^2-(0.5n+0.5)^2 = 0.5(n+1.5)
a(n+1)-a(n) = (0.5n+0.5)^2 -(0.5n)^2 = 0.5(n+0.5)
bn = 1/((n+3/2)(n+1/2)/4) = 16/[(2n+3)(2n+1)]
= 8[1/(2n+1) -1/(2n+3)]
Sn=b1+b2+b3+...+bn = 8[1/3-1/5+1/5-1/7+.+1/(2n+1) -1/(2n+3)]
=8[1/3-1/(2n+3)]
极限是8/3