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如图(1),AB=5cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=4cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速
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如图(1),AB=5cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=4cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并推导出此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=a°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并推导出此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=a°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)当t=1时,AP=BQ=1,BD=AC=4,
∵AB=5,
∴BP=5-1=4=AC,
又∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,
,
∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,
∴∠CPQ=90°,即线段PC与线段PQ垂直;
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,
∴4=5-t,t=xt,
解得t=1,x=1,
∴存在x=1,t=1,使得△ACP与△BPQ全等;
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,
∴t=5-t,4=xt,
解得t=2.5,x=
,
∴存在t=2.5,x=
,使得△ACP与△BPQ全等;
综上所述,存在x=1,t=1或t=2.5,x=
,使得△ACP与△BPQ全等.
∵AB=5,
∴BP=5-1=4=AC,
又∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,
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∴△ACP≌△BPQ(SAS),
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,
∴∠CPQ=90°,即线段PC与线段PQ垂直;
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则AC=BP,AP=BQ,
∴4=5-t,t=xt,
解得t=1,x=1,
∴存在x=1,t=1,使得△ACP与△BPQ全等;
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,
∴t=5-t,4=xt,
解得t=2.5,x=
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∴存在t=2.5,x=
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综上所述,存在x=1,t=1或t=2.5,x=
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