设矩阵A=（1k-12；2-1k5；110-61）,对参数k讨论矩阵A的秩不带参数的我基本都会做,但就是这种带参数的初等行变换不会做,请问做这种带参数化简有什么技巧吗?

Question

设矩阵A=（1 k -1 2；2 -1 k 5；1 10 -6 1）,对参数k讨论矩阵A的秩
不带参数的我基本都会做,但就是这种带参数的初等行变换不会做,请问做这种带参数化简有什么技巧吗?

Answer 1

1 k -1 2
2 -1 k 5
1 10 -6 1 第1行减去第3行,第2行减去第3行×2
～
0 k-10 5 1
0 -21 k+12 3
1 10 -6 1
很显然
1 10 -6 1这一行是不可能被消为0的了,
而另外两行之中最多也只能被消去1行,
如果
0 k-10 5 1和0 -21 k+12 3中可以被消去1行的话,
那么肯定某一行是另一行的倍数,
所以(k-10)/(-21)= 5/(k+12)= 1/3,
解得k=3有解,
那么k=3的时候,
矩阵的秩就为2,
k不等于3的时候,
矩阵的秩就为3
这种题目技巧的话,就是用初等变换将原矩阵尽可能化简,
使矩阵成为阶梯矩阵,这样才便于讨论