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在正三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE且BC=2，若此正三棱锥的四个顶点都在球O的面上，则球O的体积是（）A．36πB．32πC．33πD．33π

题目详情
在正三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE且BC=
2
，若此正三棱锥的四个顶点都在球O的面上，则球O的体积是（　　）

A．
3
6
π
B．
3
2
π
C．
3
3
π
D．3
3
π
2
，若此正三棱锥的四个顶点都在球O的面上，则球O的体积是（　　）

A．
3
6
π
B．
3
2
π
C．
3
3
π
D．3
3
π
2
2
2

3
6
π
B．
3
2
π
C．
3
3
π
D．3
3
π
3
6
3
3
3
3
366
3
2
π
C．
3
3
π
D．3
3
π
3
2
3
3
3
3
322
3
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π
D．3
3
π
3
3
3
3
3
3
333
3
3
π
3
3
3
▼优质解答
答案和解析
∵EF∥AC，EF⊥DE
∴AC⊥DE
∵AC⊥BD（正三棱锥性质）
∴AC⊥平面ABD
所以正三棱锥A-BCD是正方体的一个角，AB=1，
从而得此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为
2
，边长为1．
正方体的体对角线是
1+1+1
=
3
．
故外接球的直径是
3
，半径是
3
2
．
故其体积是
4
3
πR3=
4π
3
×(
3
2
)3=
3
2
π．
故选B．
2
2
22，边长为1．
正方体的体对角线是
1+1+1
=
3
．
故外接球的直径是
3
，半径是
3
2
．
故其体积是
4
3
πR3=
4π
3
×(
3
2
)3=
3
2
π．
故选B．
1+1+1
1+1+1
1+1+11+1+1=
3
．
故外接球的直径是
3
，半径是
3
2
．
故其体积是
4
3
πR3=
4π
3
×(
3
2
)3=
3
2
π．
故选B．
3
3
33．
故外接球的直径是
3
，半径是
3
2
．
故其体积是
4
3
πR3=
4π
3
×(
3
2
)3=
3
2
π．
故选B．
3
3
33，半径是
3
2
．
故其体积是
4
3
πR3=
4π
3
×(
3
2
)3=
3
2
π．
故选B．
3
2
3
3
3
3
33222．
故其体积是
4
3
πR3=
4π
3
×(
3
2
)3=
3
2
π．
故选B．
4
3
444333πR3=
4π
3
×(
3
2
)3=
3
2
π．
故选B． 3=
4π
3
×(
3
2
)3=
3
2
π．
故选B．
4π
3
4π4π4π333×(
3
2
3
3
3
3
33222)3=
3
2
π．
故选B． 3=
3
2
π．
故选B．
3
2
3
3
3
3
33222π．
故选B．
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