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在△ABC中,AC=BC,点O为底边AB中点,点D为AC腰上一点,连接BD,过点C作CE⊥BD,垂足为点E,连结EO.(1)如图1,求证:∠OEB=12∠ACB;(2)如图2,当∠ACB=90°时,连接AE,若∠AEO=90°,请你探究
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在△ABC中,AC=BC,点O为底边AB中点,点D为AC腰上一点,连接BD,过点C作CE⊥BD,垂足为点E,连结EO.
(1)如图1,求证:∠OEB=
∠ACB;
(2)如图2,当∠ACB=90°时,连接AE,若∠AEO=90°,请你探究线段DE与EO之间的数量关系,并证明你的结论.
(1)如图1,求证:∠OEB=
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(2)如图2,当∠ACB=90°时,连接AE,若∠AEO=90°,请你探究线段DE与EO之间的数量关系,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:取BC的中点P,连接PO、PE、CO,如图1.
∵CA=CB,点O是AB的中点,
∴∠ACO=∠BCO=
∠ACB,CO⊥AB.
∵CE⊥DB,CO⊥AB,
∴∠CEB=∠COB=90°.
∵点P是BC的中点,
∴PE=PO=PC=PB=
BC,
∴点C、E、O、B在以点P为圆心,PO为半径的圆上,
∴∠OEB=∠BCO,
∴∠OEB=
∠ACB.
(2)EO=
DE.
证明:过点A作AM⊥BD于M,过点O作ON⊥BD于N,连接CO,如图2.
∵C、E、O、B四点共圆,
∴∠OEB=∠BCO=
∠ACB=45°.
∵AM⊥BD,ON⊥BD,
∴∠AME=∠ONE=90°,
∴∠MAE=∠MEA=∠EON=∠OEN=45°,
∴AE=
AM=
EM,EO=
EN=
ON.
∵∠AME=∠ONB=90°,
∴ON∥AM,
∴△BNO∽△BMA,
∴
=
=
,
∴AM=2ON,
∴AE=2EO.
∵∠MAE=∠CAO=45°,
∴∠MAD=∠EAO.
∵∠M=∠AEO=90°,
∴△AMD∽△AEO,
∴
=
=2,
∴AM=2DM,
∴AM=ME=2DM,
∴MD=ED=
ME=
AM=ON,
∴EO=
ON=
ED.
∵CA=CB,点O是AB的中点,
∴∠ACO=∠BCO=
1 |
2 |
∵CE⊥DB,CO⊥AB,
∴∠CEB=∠COB=90°.
∵点P是BC的中点,
∴PE=PO=PC=PB=
1 |
2 |
∴点C、E、O、B在以点P为圆心,PO为半径的圆上,
∴∠OEB=∠BCO,
∴∠OEB=
1 |
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(2)EO=
2 |
证明:过点A作AM⊥BD于M,过点O作ON⊥BD于N,连接CO,如图2.
∵C、E、O、B四点共圆,
∴∠OEB=∠BCO=
1 |
2 |
∵AM⊥BD,ON⊥BD,
∴∠AME=∠ONE=90°,
∴∠MAE=∠MEA=∠EON=∠OEN=45°,
∴AE=
2 |
2 |
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2 |
∵∠AME=∠ONB=90°,
∴ON∥AM,
∴△BNO∽△BMA,
∴
ON |
AM |
OB |
AB |
1 |
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∴AM=2ON,
∴AE=2EO.
∵∠MAE=∠CAO=45°,
∴∠MAD=∠EAO.
∵∠M=∠AEO=90°,
∴△AMD∽△AEO,
∴
AM |
DM |
AE |
OE |
∴AM=2DM,
∴AM=ME=2DM,
∴MD=ED=
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2 |
∴EO=
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