在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC．（1）如图1，当∠BAD=90°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；（2）如图2，当∠BAD=60°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=60°

Question

在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC．
（1）如图1，当∠BAD=90°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
（2）如图2，当∠BAD=60°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=60°，设AC=CE=4，求BP的长．

Answer 1

（1）证明：如图1中，连接PA．

在正方形ABCD中，AD=DC，
∠ADP=∠CDP=45°，
在△ADP和△CDP中，

DA=DC

∠ADP=∠CDP

DP=DP

，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
∵∠CPF=∠EDF=90°，∠PFC=∠EFD，
∴∠PCF=∠E，
∴∠PAD=∠E
∴PA=PE，
∴PC=PE；

（2）①如图2中，设AC交BD于O．

由（1）可知PC=PE=PA，∵∠CPE=60°
∴PC=PE=CE=AC=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴BP=PO+OB=2√(3)+(2)/(√(3))=(8√(3))/(3)
②如图3中，

利用①中方法可知PB=2√(3)-(2)/(√(3))=(4√(3))/(3)．