如图直线Y=-2X+4分别与X轴Y轴交于点A和B以B为顶点在第一象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标（2）在y轴上是否存在一点M,使得MA+MC最小?如果存在请求出M的坐标（3）若P点为Y轴正半轴上一动点,分

Question

如图直线Y=-2X+4分别与X轴Y轴交于点A和B以B为顶点在第一象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标
（2）在y轴上是否存在一点M,使得MA+MC最小?如果存在请求出M的坐标
（3）若P点为Y轴正半轴上一动点,分别以AP、OP为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt△APC和等腰Rt△OPD,连接CD交y轴于N点,当点P在Y轴上移动时,求PN的长度

Answer 1

(1)解法一：过点C作CE垂直于x轴,过点B作平行于x轴的辅助线交CE于F,可证明△BCF=△BAO,所以BF=BO=4,FC=OA=2,所以C点坐标为（4,6）
解法二：设C点坐标（x,y）,因为CBA为直角,直线BC的斜率=tanOBA=1/2,又直接过点B（0,4）,可得直线BC的表达式：y=1/2x+4,因为△ABC是等腰,线段BC长度x^2+(y-4)^2=AB=2^2+4^2=20,带入直线表达式,即解得,x=4,y=6
(2)设存在M点坐标为（0,y）,则MA+MC=y^2+2^2+(y-4)^2=2(y-2)^2+12,当y=2时,有最小值,所以M点存在,且坐标是（0,2）
(3)因为APC为等腰直角三角形,所以P点即为B点,坐标为（0,4）；因为OPD为等腰直角三角形,所以D点坐标为（-4,4）,已知C（4,6）,所以直线BC的方程为：（x+4）/（4+4）=（y-4）/（6-4）,整理得y=（1/4）x+5,所以N点的坐标为（0,5）,所以PN的长度为1.