已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点．动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、BD运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜13）．（1）

Question

已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点．动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、BD运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜13）．
（1）写出△POD的面积S与t之间的函数关系式，并求出△POD的面积等于9时点P的坐标．
（2）当点P在OA上运动时，连结CP．问：是否存在某一时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
 

Answer 1

（1）∵矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点，
∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，
当点P在OA上运动时，即0＜t≤6，如图1，OP=t，S=(1)/(2)•t•4=2t；
∵S=9，
∴2t=9，解得t=4.5，
∴此时P点坐标为（4.5，0）；
当点P在AB上运动时，即6＜t≤10，如图2，AP=t-6，BP=10-t，S=S_矩形ABCD-S_△OCD-S_△OAP-S_△BPD
=4×6-(1)/(2)•4×3-(1)/(2)•6•（t-6）-(1)/(2)•3•（10-t）
=-(3)/(2)t+21；
∵S=9，
∴-(3)/(2)t+21=9，解得t=8，
∴此时P点坐标为（2，4）；
当点P在BD上运动时，即10＜t＜13，如图3，PB=13-t，S=(1)/(2)•（13-t）•4=-2t+26；
∵S=9，
∴-2t+26=9，解得t=7.5（不合题意舍去）；



（2）存在．
如图4，E点为AB的中点，
∵CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点，
∴PC=PE，
在Rt△POC中，OC=4，OP=t，
∴PC²=OP²+OC²=t²+4²，
在Rt△PAE中，AE=2，PA=6-t，
∴PE²=PA²+AE²=（6-t）²+2²，
∴t²+4²=（6-t）²+2²，解得t=2，
即当t=2s时，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处．