试卷中一题目,感觉有点难度,任给有理数a,函数f(x)满足f(x)=∫x(积分上限)0（积分下限）f(a-t)dt+1,求f(x)

Question

试卷中一题目,感觉有点难度,
任给有理数a,函数f(x) 满足f(x) = ∫x (积分上限) 0 （积分下限） f(a-t) dt + 1 ,
求f(x)

Answer 1

我写一下思路：
（1）看到积分方程总是先求导化成微分方程
两边求导：
f'(x)=f(a-x).
（2）将中的x换成a-t,则可得到：
f'(a-t)=f(t),也就是
f'(a-x)=f(x).
（3）对再两边求导：
f''(x)=-f'(a-x)
此时利用式,可得：
f''(x)=-f'(a-x)=-f(x)
（4）这样就得到了二阶常系数齐次微分方程
f''(x)=-f(x)
接下来就是求出特征根i,-i,确定解的形式.
本人微分方程很久没碰了,忘了怎么解了,LZ自己做一下吧,到这里应该问题不大了.