如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于

Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值；

（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？

（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

　

　

 

Answer 1

       （1）∵四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=4，∠D=90°， ∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE， ∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°， ∴MP==5； （2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N， ∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4， ∴AM=AM′=4， ∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE， ∴∠CEP=∠MEP， 而∠CEP=∠MPE， ∴∠MEP=∠MPE， ∴ME=MP=5， 在Rt△ENM中，MN===3， ∴NM′=11， ∵AF∥ME， ∴△AFM′∽△NEM′， ∴=，即=，解得AF=， 即AF=时，△MEF的周长最小； （3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q， ∵ER=GQ，ER∥GQ， ∴四边形ERGQ是平行四边形， ∴QE=GR， ∵GM=GM′， ∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小， 在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2， M′R==5， ∵ME=5，GQ=2， ∴四边形MEQG的最小周长值是7+5．