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(2014•绵阳)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点F在⊙O上,且满足BC=FC,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点,交AF的延长线于E点.(1)求证:AE⊥DE;(2)若tan∠CBA=3,AE=3,求AF
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(2014•绵阳)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点F在⊙O上,且满足
=
,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点,交AF的延长线于E点.
(1)求证:AE⊥DE;
(2)若tan∠CBA=
,AE=3,求AF的长.
BC |
FC |
(1)求证:AE⊥DE;
(2)若tan∠CBA=
3 |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OC,
∵OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA,
∵
=
,
∴∠BAC=∠EAC,
∴∠EAC=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵DE切⊙O于点C,
∴OC⊥DE,
∴AE⊥DE;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴△ABC是直角三角形,
∵tan∠CBA=
,
∴∠CBA=60°,
∴∠BAC=∠EAC=30°,
∵△AEC为直角三角形,AE=3,
∴AC=2
,
连接OF,
∵OF=OA,∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°,
∴△OAF为等边三角形,
∴AF=OA=
AB,
在Rt△ACB中,AC=2
,tan∠CBA=
,
∴BC=2,
∴AB=4,
∴AF=2.
∵OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA,
∵
BC |
FC |
∴∠BAC=∠EAC,
∴∠EAC=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵DE切⊙O于点C,
∴OC⊥DE,
∴AE⊥DE;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴△ABC是直角三角形,
∵tan∠CBA=
3 |
∴∠CBA=60°,
∴∠BAC=∠EAC=30°,
∵△AEC为直角三角形,AE=3,
∴AC=2
3 |
连接OF,
∵OF=OA,∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°,
∴△OAF为等边三角形,
∴AF=OA=
1 |
2 |
在Rt△ACB中,AC=2
3 |
3 |
∴BC=2,
∴AB=4,
∴AF=2.
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