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如图,AB是半圆O的直径,四边形CDEF是内接正方形.(1)求证:OC=OF;(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK,点G在AB上,H在半圆上,K在EF上.若正方形CDEF的边为2,求正方形FGHK的面积.
题目详情
如图,AB是半圆O的直径,四边形CDEF是内接正方形.
(1)求证:OC=OF;
(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK,点G在AB上,H在半圆上,K在EF上.若正方形CDEF的边为2,求正方形FGHK的面积.
(1)求证:OC=OF;
(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK,点G在AB上,H在半圆上,K在EF上.若正方形CDEF的边为2,求正方形FGHK的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OD,OE,则OD=OE,
∵四边形CDEF为正方形
∴CD=FE,∠DCO=∠EFO=90°,
∴在Rt△DOC和Rt△EOF中:
∴Rt△DOC≌Rt△EOF,
∴OC=OF.(4分)
(2)连接OH,设正方形FGHK的边长为x.(5分)
由已知及(1)可得EF=2,OF=1.
在Rt△OEF中,OE2=OF2+EF2=12+22=5.(6分)
在Rt△OHG中,OH2=OG2+GH2,OE=OH,
∴5=(1+x)2+x2.(7分)
整理得x2+x-2=0.
解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=1.(8分)
∴x2=1
∴正方形FGHK的面积为1.(9分)
∵四边形CDEF为正方形
∴CD=FE,∠DCO=∠EFO=90°,
∴在Rt△DOC和Rt△EOF中:
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∴Rt△DOC≌Rt△EOF,
∴OC=OF.(4分)
(2)连接OH,设正方形FGHK的边长为x.(5分)
由已知及(1)可得EF=2,OF=1.
在Rt△OEF中,OE2=OF2+EF2=12+22=5.(6分)
在Rt△OHG中,OH2=OG2+GH2,OE=OH,
∴5=(1+x)2+x2.(7分)
整理得x2+x-2=0.
解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=1.(8分)
∴x2=1
∴正方形FGHK的面积为1.(9分)
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