(2013•兰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条
(2013•兰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,-),点M是抛物线C2:y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.
答案和解析
(1)y=mx
2-2mx-3m=m(x-3)(x+1),
∵m≠0,
∴当y=0时,x
1=-1,x
2=3,
∴A(-1,0),B(3,0);
(2)设C
1:y=ax
2+bx+c,将A、B、C三点的坐标代入得:
,
解得,
故C1:y=x2-x-.
如图:过点P作PQ∥y轴,交BC于Q,
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为:y=x-,
设P(x,x2-x-),则Q(x,x-),
PQ=x--(x2-x-)=-x2+x,
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OB=×(-x2+x)×3=-(x-)2+,
当x=时,S△PBC有最大值,Smax=,
×()2--=-,
P(,-);
(3)y=mx2-2mx-3m=m(x-1)2-4m,
顶点M坐标(1,-4m),
当x=0时,y=-3m,
∴D(0,-3m),B(3,0),
∴DM2=(0-1)2+(-3m+4m)2=m2+1,
MB2=(3-1)2+(0+4m)2=16m2+4,
BD2=(3-0)2+(0+3m)2=9m2+9,
当△BDM为Rt△时有:DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2.
①DM2+BD2=MB2时有:m2+1+9m2+9=16m2+4,
解得m=-1(∵m<0,∴m=1舍去);
②DM2+MB2=BD2时有:m2+1+16m2+4=9m2+9,
解得m=-(m=舍去).
综上,m=-1或-时,△BDM为直角三角形.
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