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数列题!f(x,y)对所有实数x,y都满足:f(0,y)=y+1,f(x+1,0)=f(x,1),f(x+1,y+1)=f[x,f(x+1,y)](1)求证:f(1,n)-f(1,n-1)为常数(n是正整数)(2)an=f(2-n),n是正整数,求证:an是等差数列,并求a1+a1+...+an
题目详情
数列题!f(x,y)对所有实数x,y都满足:f(0,y)=y+1,f(x+1,0)=f(x,1),f(x+1,y+1)=f[x,f(x+1,y)]
(1)求证:f(1,n)-f(1,n-1)为常数(n是正整数)
(2)an=f(2-n),n是正整数,求证:an是等差数列,并求a1+a1+...+an
(1)求证:f(1,n)-f(1,n-1)为常数(n是正整数)
(2)an=f(2-n),n是正整数,求证:an是等差数列,并求a1+a1+...+an
▼优质解答
答案和解析
(1)f(0,y)=y+1,f(x+1,y+1)=f[x,f(x+1,y)],
令x=0,y=n-1得
f(1,n)=f[0,f(1,n-1)]=f(1,n-1)+1,
∴f(1,n)-f(1,n-1)=1,为常数.
(2)f(1,0)=f(0,1)=2,
∴f(1,n)=1+n,
an=f(2,-n)=f[1,f(2,-n-1)]=1+f(2,-n-1),
f(2,0)=f(1,1)=2,
∴an=2-n,
∴{an}是等差数列,
∴a1+a2+...+an=n(a1+an)/2=n(1+2-n)/2=n(3-n)/2.
令x=0,y=n-1得
f(1,n)=f[0,f(1,n-1)]=f(1,n-1)+1,
∴f(1,n)-f(1,n-1)=1,为常数.
(2)f(1,0)=f(0,1)=2,
∴f(1,n)=1+n,
an=f(2,-n)=f[1,f(2,-n-1)]=1+f(2,-n-1),
f(2,0)=f(1,1)=2,
∴an=2-n,
∴{an}是等差数列,
∴a1+a2+...+an=n(a1+an)/2=n(1+2-n)/2=n(3-n)/2.
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