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如图,抛物线y=(x+m)2+m,与直线y=-x相交于E,C两点(点E在点C的左边),抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).△ABC的外接圆H与直线y=-x相交于点D.(1)若抛物线与y轴的交点坐标
题目详情
如图,抛物线y=(x+m)2+m,与直线y=-x相交于E,C两点(点E在点C的左边),抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).△ABC的外接圆 H与直线y=-x相交于点D.
(1)若抛物线与y轴的交点坐标为(0,2),求m的值;
(2)求证: H与直线y=1相切;
(3)若DE=2EC,求 H的半径.
(1)若抛物线与y轴的交点坐标为(0,2),求m的值;
(2)求证: H与直线y=1相切;
(3)若DE=2EC,求 H的半径.
▼优质解答
答案和解析
(1) ∵抛物线y=(x+m)2+m与y轴的交点坐标为(0,2),
∴当x=0时,y=m2+m=2,
解得:m1=-2,m2=1;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴(x+m)2+m=0有两个不相等的实数根,
∴m<0,
∴m=-2;
(2)证明:作直径CM交弦AB于点G,连接HB,
∵抛物线y=(x+m)2+m,与直线y=-x相交于E,C两点(点E在点C的左边),
∴(x+m)2+m=-x,
∴(x+m)(x+m+1)=0,
解得:x1=-m,x2=-m-1,
∴点E(-m-1,m+1),C(-m,m);
∴点C是抛物线的顶点,
由抛物线与圆的对称性得:CM垂直平分AB,
∴CM⊥直线y=1,
设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,则x1,x2是(x+m)2+m=x2+2mx+m2+m=0的两根,
∴x1+x2=-2m,x1•x2=m2+m,
∴AB=x2-x1=
=2
,
设 H的半径为r,CG=-m,HG=-m-r,
在Rt△HGB中,HG=-m-r,HB=r,GB=
,
∴(-m-r)2+(
)2=r2,
解得:r=
,
∵HG=-m-r,
∴点H到直线y=1的距离为:-m-r+1=2r-r=r,
∴ H与直线y=1相切;
(3)连接MD,
∵ H与直线y=1相切于点M,
∴△CMN是等腰直角三角形,
∵CM为直径,
∴∠CDM=90°,
∴DN=DC,
∵点E(-m-1,m+1),C(-m,m),
∴EC=
,
∵DE=2EC,
∴CD=3EC=3
,
∴CN=2CD=6
,
∴CM=2r=6,
∴r=3.
∴当x=0时,y=m2+m=2,
解得:m1=-2,m2=1;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴(x+m)2+m=0有两个不相等的实数根,
∴m<0,
∴m=-2;
(2)证明:作直径CM交弦AB于点G,连接HB,
∵抛物线y=(x+m)2+m,与直线y=-x相交于E,C两点(点E在点C的左边),
∴(x+m)2+m=-x,
∴(x+m)(x+m+1)=0,
解得:x1=-m,x2=-m-1,
∴点E(-m-1,m+1),C(-m,m);
∴点C是抛物线的顶点,
由抛物线与圆的对称性得:CM垂直平分AB,
∴CM⊥直线y=1,
设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,则x1,x2是(x+m)2+m=x2+2mx+m2+m=0的两根,
∴x1+x2=-2m,x1•x2=m2+m,
∴AB=x2-x1=
(x1+x2)2-4x1x2 |
-m |
设 H的半径为r,CG=-m,HG=-m-r,
在Rt△HGB中,HG=-m-r,HB=r,GB=
-m |
∴(-m-r)2+(
-m |
解得:r=
1-m |
2 |
∵HG=-m-r,
∴点H到直线y=1的距离为:-m-r+1=2r-r=r,
∴ H与直线y=1相切;
(3)连接MD,
∵ H与直线y=1相切于点M,
∴△CMN是等腰直角三角形,
∵CM为直径,
∴∠CDM=90°,
∴DN=DC,
∵点E(-m-1,m+1),C(-m,m),
∴EC=
2 |
∵DE=2EC,
∴CD=3EC=3
2 |
∴CN=2CD=6
2 |
∴CM=2r=6,
∴r=3.
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